Soal Project Euler dalam Bahasa Indonesia

Berikut adalah soal2 Project Euler dalam bahasa Indonesia

Soal 1

Jika kita membuat daftar semua bilangan asli yang lebih kecil daripada 10 yang merupakan kelipatan 3 atau 5, maka kita akan mendapatkan 3, 5, 6, dan 9. Jumlah dari bilangan-bilangan tersebut adalah 23.

Tentukanlah jumlah dari semua bilangan kelipatan 3 atau 5 yang lebih kecil daripada 1000.

Answer: e1edf9d1967ca96767dcc2b2d6df69f4

Soal 2

Setiap pola baru dalam barisan Fibonacci dibentuk dengan menjumlahkan dua buah bilangan sebelumnya. Jika kita memulai barisan dengan angka 1 dan 2, maka 10 bilangan pertama barisan Fibonacci adalah:

Tentukanlah hasil penjumlahan semua bilangan genap yang lebih kecil dari empat juta dalam barisan Fibonacci seperti di atas.

Answer: 4194eb91842c8e7e6df099ca73c38f28

Soal 3

Faktor prima dari 13195 adalah 5, 7, 13, dan 29.

Berapakah faktor prima terbesar dari bilangan 600851475143 ?

Answer: 94c4dd41f9dddce696557d3717d98d82

Soal 4

Sebuah bilangan disebut sebagai palindrom, bila kita membacanya baik dari depan maupun dari belakang, kita akan mendapatkan bilangan yang sama. Bilangan palindrom terbesar hasil dari perkalian dua buah bilangan 2 digit adalah 9009 = 91 × 99.

Tentukan bilangan palindrom terbesar hasil dari perkalian dua buah bilangan 3 digit.

Answer: d4cfc27d16ea72a96b83d9bdef6ce2ec

Soal 5

2520 adalah bilangan terkecil yang dapat habis dibagi oleh semua angka dari 1 sampai 10.

Berapakah bilangan positif terkecil yang dapat habis dibagi oleh semua bilangan dari 1 sampai 20?

Answer: bc0d0a22a7a46212135ed0ba77d22f3a

Soal 6

Jumlah dari kuadrat sepuluh bilangan asli pertama adalah,

Kuadrat dari jumlah sepuluh bilangan asli pertama adalah,

Selisih antara jumlah dari kuadrat dengan kuadrat dari jumlah sepuluh bilangan asli pertama adalah 3025 - 385 = 2640. Tentukan selisih antara jumlah dari kuadrat dengan kuadrat dari jumlah seratus bilangan asli pertama.

Answer: 867380888952c39a131fe1d832246ecc

Soal 7

Bila kita membuat daftar enam bilangan prima pertama: 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, kita dapat melihat bahwa bilangan prima ke-6 adalah 13.

Berapakah bilangan prima ke-10 001?

Answer: 8c32ab09ec0210af60d392e9b2009560

Soal 8

Empat bilangan berurutan dari 1000 bilangan berikut yang memiliki hasil kali terbesar adalah 9 × 9 × 8 × 9 = 5832.

Temukanlah tiga belas bilangan berurutan dari 1000 bilangan di atas yang memiliki hasil kali terbesar. Berapakah hasil kali ketiga belas bilangan tersebut?

Answer: 0f53ea7949d32ef24f9186207600403c

Soal 9

Triplet Pythagoras adalah kumpulan tiga buah bilangan asli, a < b < c, yang memenuhi,

Sebagai contoh, 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².

Dan hanya terdapat persis satu triplet Pythagoras yang bisa memenuhi a + b + c = 1000. Temukan triplet Pythagoras tersebut dan tentukanlah hasil a × b × c.

Answer: 24eaa9820350012ff678de47cb85b639

Soal 10

Jumlah semua bilangan prima yang lebih kecil daripada 10 adalah 2 + 3 + 5 + 7 = 17.

Tentukanlah jumlah semua bilangan prima yang lebih kecil dari dua juta (2 000 000).

Answer: d915b2a9ac8749a6b837404815f1ae25

Soal 11

Pada kisi berukuran 20×20 berikut, empat buah bilangan yang membentuk satu garis diagonal lurus telah ditandai dengan warna merah.

08 02 22 97 38 15 00 40 00 75 04 05 07 78 52 12 50 77 91 08
49 49 99 40 17 81 18 57 60 87 17 40 98 43 69 48 04 56 62 00
81 49 31 73 55 79 14 29 93 71 40 67 53 88 30 03 49 13 36 65
52 70 95 23 04 60 11 42 69 24 68 56 01 32 56 71 37 02 36 91
22 31 16 71 51 67 63 89 41 92 36 54 22 40 40 28 66 33 13 80
24 47 32 60 99 03 45 02 44 75 33 53 78 36 84 20 35 17 12 50
32 98 81 28 64 23 67 10 26 38 40 67 59 54 70 66 18 38 64 70
67 26 20 68 02 62 12 20 95 63 94 39 63 08 40 91 66 49 94 21
24 55 58 05 66 73 99 26 97 17 78 78 96 83 14 88 34 89 63 72
21 36 23 09 75 00 76 44 20 45 35 14 00 61 33 97 34 31 33 95
78 17 53 28 22 75 31 67 15 94 03 80 04 62 16 14 09 53 56 92
16 39 05 42 96 35 31 47 55 58 88 24 00 17 54 24 36 29 85 57
86 56 00 48 35 71 89 07 05 44 44 37 44 60 21 58 51 54 17 58
19 80 81 68 05 94 47 69 28 73 92 13 86 52 17 77 04 89 55 40
04 52 08 83 97 35 99 16 07 97 57 32 16 26 26 79 33 27 98 66
88 36 68 87 57 62 20 72 03 46 33 67 46 55 12 32 63 93 53 69
04 42 16 73 38 25 39 11 24 94 72 18 08 46 29 32 40 62 76 36
20 69 36 41 72 30 23 88 34 62 99 69 82 67 59 85 74 04 36 16
20 73 35 29 78 31 90 01 74 31 49 71 48 86 81 16 23 57 05 54
01 70 54 71 83 51 54 69 16 92 33 48 61 43 52 01 89 19 67 48

Hasil perkalian dari bilangan tersebut adalah 26 × 63 × 78 × 14 = 1788696.

Berapakah hasil perkalian terbesar dari empat bilangan berurutan dalam satu garis lurus (atas, bawah, kiri, kanan, atau diagonal) pada kisi berukuran 20×20 di atas?

Answer: 678f5d2e1eaa42f04fa53411b4f441ac

Soal 12

Barisan bilangan segitiga dibuat dengan menjumlahkan bilangan asli. Maka bilangan segitiga ke-7 adalah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28. Sepuluh bilangan segitiga pertama adalah:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Jika kita membuat daftar faktor dari tujuh bilangan segitiga pertama:

 1: 1
 3: 1,3
 6: 1,2,3,6
10: 1,2,5,10
15: 1,3,5,15
21: 1,3,7,21
28: 1,2,4,7,14,28

Dapat terlihat bahwa 28 adalah bilangan segitiga pertama yang memiliki lebih dari lima faktor. Berapakah bilangan segitiga pertama yang memiliki lebih dari lima ratus faktor?

Answer: 8091de7d285989bbfa9a2f9f3bdcc7c0

Soal 13

Carilah sepuluh angka pertama dari hasil penjumlahan seratus buah bilangan 50 digit berikut ini.

Answer: 361113f19fd302adc31268f8283a4f2d

Soal 14

Sebuah barisan iteratif berikut didefinisikan untuk himpunan bilangan bulat positif dengan aturan:

Menggunakan aturan di atas, dimulai dari 13, maka kita akan mendapatkan barisan:</br>

Dapat terlihat bahwa barisan ini (yang dimulai dari 13 dan berakhir di 1) memiliki 10 suku. Meskipun belum ada bukti matematisnya, diperkirakan bahwa apapun bilangan awalnya, barisan seperti ini akan selalu berakhir di 1 (Masalah Collatz).</br> Bilangan awal manakah yang besarnya lebih kecil daripada satu juta yang akan menghasilkan barisan terpanjang?</br>

Catatan : besar suku berikutnya (setelah bilangan awal) dalam barisan boleh melebihi satu juta.

Answer: 5052c3765262bb2c6be537abd60b305e

Soal 15

Jika kita mulai bergerak dari pojok kiri atas kisi berukuran 2×2, dan hanya boleh bergerak ke kanan atau ke bawah, maka akan ada persis 6 ruas rute menuju ke pojok kanan bawah.

Berapakah jumlah rute yang ada jika kisi berukuran 20×20?

Answer: 928f3957168ac592c4215dcd04e0b678

Soal 16

2¹⁵ = 32768 dan jumlah semua digitnya adalah 3 + 2 + 7 + 6 + 8 = 26.

Berapakah jumlah digit dari angka 2¹⁰⁰⁰?

Answer: 6a5889bb0190d0211a991f47bb19a777

Soal 17

Angka 1 sampai 5 ditulis dalam kata bahasa Inggris sebagai : one, two, three, four, five, dan terdapat 3 + 3 + 5 + 4 + 4 = 19 jumlah huruf yang digunakan.

Bila semua angka dari 1 sampai 1000 (1 dan 1000 termasuk di dalamnya) ditulis dalam kata bahasa Inggris, berapakah jumlah huruf yang digunakan?

Catatan : Karena hanya terdapat 16384 jalur, maka masalah ini mungkin diselesaikan dengan mencoba semua jalur satu persatu. Tetapi, pada soal no.67, terdapat tantangan yang sama namun dengan menggunakan segitiga 100 baris. Masalah itu tidak bisa diselesaikan dengan mencoba jalur satu persatu dan dibutuhkan cara yang cerdik! ;o)

Answer: 6a979d4a9cf85135408529edc8a133d0

Soal 18

Dengan memulai dari puncak segitiga seperti gambar berikut, dan berpindah ke angka sebelah kiri atau kanan pada baris di bawahnya, maka akan didapat jumlah bilangan maksimum dari atas sampai bawah adalah 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Jumlahnya, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Berapakah jumlah bilangan maksimum dengan cara serupa dari atas ke bawah pada segitiga berikut:

75
95 64
17 47 82
18 35 87 10
20 04 82 47 65
19 01 23 75 03 34
88 02 77 73 07 63 67
99 65 04 28 06 16 70 92
41 41 26 56 83 40 80 70 33
41 48 72 33 47 32 37 16 94 29
53 71 44 65 25 43 91 52 97 51 14
70 11 33 28 77 73 17 78 39 68 17 57
91 71 52 38 17 14 91 43 58 50 27 29 48
63 66 04 68 89 53 67 30 73 16 69 87 40 31
04 62 98 27 23 09 70 98 73 93 38 53 60 04 23

Catatan : Karena hanya terdapat 16384 jalur, maka masalah ini mungkin diselesaikan dengan mencoba semua jalur satu persatu. Tetapi, pada soal no.67, terdapat tantangan yang sama namun dengan menggunakan segitiga 100 baris, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan mencoba jalur satu persatu dan membutuhkan cara yang cerdas! ;o)

Answer: 708f3cf8100d5e71834b1db77dfa15d6

Soal 19

Anda diberikan informasi sebagai berikut, dan Anda diminta untuk melakukan penelitian.

• 1 Jan 1900 adalah hari Senin.
• Bulan yang panjangnya tiga puluh hari adalah September, April, Juni, dan November. Sisanya memiliki panjang tiga puluh satu hari, kecuali Februari yang panjangnya dua puluh delapan hari, dan pada tahun kabisat bisa menjadi dua puluh sembilan.
• Tahun kabisat adalah tahun yang dapat habis dibagi 4, namun tidak berlaku pada tahun akhir abad, kecuali tahun tersebut tersebut habis dibagi 400. (Contoh : Februari 1900, akhir abad ke-19, memiliki dua puluh delapan hari walaupun 1900 habis dibagi 4)

Berapakah banyak hari Minggu yang jatuh pada tanggal 1 pada abad ke-20 (1 Jan 1901 sampai 31 Des 2000)?

Answer: a4a042cf4fd6bfb47701cbc8a1653ada

Soal 20

n! (dibaca n faktorial) didefinisikan sebagai n × (n − 1) × … × 3 × 2 × 1.
Sebagai contoh, 10! = 10 × 9 × … × 3 × 2 × 1 = 3628800.
Jumlah digit bilangan 10! adalah 3 + 6 + 2 + 8 + 8 + 0 + 0 = 27.
Carilah jumlah digit dari bilangan 100!

Answer: 443cb001c138b2561a0d90720d6ce111

Soal 21

Misalkan d(n) adalah jumlah semua bilangan yang lebih kecil daripada n yang dapat membagi habis n.

Jika d(a)=b dan d(b)=a, dengan a≠b, maka a dan b adalah sebuah pasangan akrab, dan a serta b dapat disebut bilangan akrab.

Sebagai contoh, bilangan-bilangan yang dapat membagi habis 220 dan lebih kecil daripada 220 adalah 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, dan 110; maka d(220)=284. Bilangan yang dapat membagi habis 284 dan lebih kecil daripada 2784 adalah 1, 2, 4, 71, dan 142; maka d(284)=220.

Hitunglah jumlah semua bilangan akrab yang lebih kecil daripada 10000.

Answer: 51e04cd4e55e7e415bf24de9e1b0f3ff

Soal 22

[names.txt](/projecteuler/files/names.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...') , adalah 46K berkas teks yang berisi lebih dari lima ribu nama depan. Urutkanlah nama-nama tersebut berdasarkan abjad, lalu hitunglah nilai dari setiap nama dengan cara mengkonversikan setiap huruf menjadi angka sesuai dengan urutan alfabet. Setelah itu kalikan jumlah angka-angka tersebut dengan posisinya pada daftar nama names.txt yang telah diurutkan.

Sebagai contoh, saat daftar nama sudah diurutkan berdasarkan abjad, COLIN berada di posisi ke 938 pada daftar nama, dari huruf-hurufnya COLIN akan memiliki nilai 3 + 15 + 12 + 9 + 14 = 53. Sehingga, COLIN akan memiliki nilai 938 × 53 = 49714.

Berapakah jumlah nilai dari semua nama pada names.txt?

Answer: f2c9c91cb025746f781fa4db8be3983f

Soal 23

Bilangan sempurna adalah sebuah bilangan yang jumlah semua pembagi habisnya sama dengan bilangan itu sendiri. Sebagai contoh, jumlah pembagi habis dari 28 adalah 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, dengan demikian 28 adalah bilangan sempurna.

Sebuah bilangan n disebut defisien jika jumlah pembagi habisnya kurang dari n, dan disebut limpahan jika jumlahnya melebihi n.

12 adalah bilangan limpahan terkecil, 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, sedangkan bilangan terkecil yang dapat dibentuk dari hasil jumlah dua buah bilangan limpahan adalah 24. Dengan analisis matematis, dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat lebih dari 28123 dapat dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan. Dan, batas ini tidak bisa diperkecil lagi oleh analisis lebih lanjut, sehingga bilangan terbesar yang tidak dapat dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan adalah kurang dari batas ini (28123).

Carilah jumlah semua bilangan positif yang tidak bisa dibentuk dari penjumlahan dua buah bilangan limpahan.

Answer: 2c8258c0604152962f7787571511cf28

Soal 24

Permutasi adalah susunan terurut dari objek. Sebagai contoh, 3124 adalah salah satu permutasi yang mungkin dari digit 1, 2, 3, dan 4. Jika semua permutasi dituliskan sesuai dengan urutan angka atau alfabet, maka kita sebut itu sebagai susunan leksikografis. Susunan leksikografis dari permutasi 0, 1, dan 2 adalah:

Berapakah suku kesatu juta dari susunan leksikografis dari permutasi digit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9?

Answer: 7f155b45cb3f0a6e518d59ec348bff84

Soal 25

Barisan Fibonacci dibentuk dari hubungan berulang:

F_n = F_n−1 + F_n−2, di mana F₁ = 1 and F₂ = 1.

Dari aturan tersebut didapatkan 12 suku pertamanya:

F₁ = 1
F₂ = 1
F₃ = 2
F₄ = 3
F₅ = 5
F₆ = 8
F₇ = 13
F₈ = 21
F₉ = 34
F₁₀ = 55
F₁₁ = 89
F₁₂ = 144

Suku ke-12, yaitu F₁₂, adalah suku pertama yang memiliki tiga digit.

Suku keberapakah pada barisan Fibonacci yang pertama kali memiliki 1000 digit?

Answer: a376802c0811f1b9088828288eb0d3f0

Soal 26

Unit pecahan adalah sebuah pecahan yang memiliki pembilang 1. Representasi desimal dari unit pecahan untuk penyebut dari 2 sampai 10 adalah sebagai berikut:

1/2	=	0.5
1/3	=	0.(3)
1/4	=	0.25
1/5	=	0.2
1/6	=	0.1(6)
1/7	=	0.(142857)
1/8	=	0.125
1/9	=	0.(1)
1/10	=	0.1

Di sini 0.1(6) berarti 0.166666..., dan memiliki 1 digit yang berulang. Dapat kita lihat bahwa ¹/₇ memiliki 6 digit yang berulang.

Carilah berapa nilai dari d < 1000, bila ¹/_d memiliki paling banyak digit berulang dalam bentuk desimalnya.

Answer: 6aab1270668d8cac7cef2566a1c5f569

Soal 27

Euler menemukan sebuah rumus kuadrat yang luar biasa:

n² + n + 41

Ternyata rumus tersebut akan menciptakan 40 buah bilangan prima untuk nilai n = 0 sampai 39. Tetapi, saat n = 40, 40² + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 angka ini ternyata habis dibagi 41, dan saat n = 41, 41² + 41 + 41 angka ini juga habis dibagi 41.

Rumus luar biasa lainnya  n² − 79n + 1601 telah ditemukan, rumus tersebut akan menghasilkan 80 buah bilangan prima untuk nilai n = 0 to 79. Hasil kali dari koefisien rumus tersebut, −79 dan 1601, adalah −126479.

Dengan bentuk kuadrat berikut ini:

n² + an + b, di mana |a| < 1000 dan |b| < 1000

di mana |n| adalah nilai mutlak/absolut dari n
sebagai contoh: |11| = 11 dan |−4| = 4

Carilah hasil kali koefisien, a dan b, untuk rumus kuadrat di atas yang menghasilkan paling banyak bilangan prima untuk nilai n berurutan, dimulai dari n = 0.

Answer: 69d9e3218fd7abb6ff453ea96505183d

Soal 28

Dimulai dari angka 1 di tengah, lalu bergerak ke kanan searah jarum jam, maka dapat dibentuk spiral angka berukuran 5 x 5 sebagai berikut:

21 22 23 24 25
20  7  8  9 10
19  6  1  2 11
18  5  4  3 12
17 16 15 14 13

Dapat terlihat bahwa jumlah angka-angka yang terletak pada diagonal spiral angka ini adalah 101.

Berapakah jumlah angka-angka pada diagonal, jika dibentuk spiral dengan cara yang sama, namun berukuran 1001 x 1001?

Answer: 0d53425bd7c5bf9919df3718c8e49fa6

Soal 29

Jika kita mencoba menghitung semua kombinasi dari a^b untuk 2 ≤ a ≤ 5 dan 2 ≤ b ≤ 5 maka kita akan mendapatkan:

2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32
3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
4²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=1024
5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125

Lalu jika kita urutkan angka-angka tersebut, dengan terlebih dahulu membuang angka yang berulang, maka kita akan mendapatkan barisan 15 buah bilangan berbeda sebagai berikut:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Berapakah banyak bilangan berbeda, pada barisan yang dibuat dari rumus a^b untuk 2 ≤ a ≤ 100 dan 2 ≤ b ≤ 100?

Answer: 6f0ca67289d79eb35d19decbc0a08453

Soal 30

Hanya terdapat tiga buah bilangan yang jika digit-digitnya dipangkatkan empat, lalu dijumlahkan, akan menghasilkan angka yang sama:

1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴
8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴
9474 = 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴

Tetapi 1 = 1⁴ tidak ikut dimasukkan dalam bilangan-bilangan di atas, karena bukan merupakan hasil penjumlahan.

Jumlah dari semua bilangan tersebut adalah 1634 + 8208 + 9474 = 19316.

Carilah jumlah dari semua bilangan yang jika digit-digitnya dipangkatkan lima, lalu dijumlahkan, akan menghasilkan bilangan yang sama

Answer: 27a1779a8a8c323a307ac8a70bc4489d

Soal 31

Mata uang Inggris terdiri dari pecahan pound (£), dan pence (p), dan terdapat delapan macam koin yang beredar di sana:

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p) dan £2 (200p).

Kita dapat membentuk £2 salah satunya dengan cara berikut:

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

Berapa banyak cara untuk membentuk £2 menggunakan koin yang beredar?

Answer: 142dfe4a33d624d2b830a9257e96726d

Soal 32

Kita dapat menyebut bilangan dengan n digit sebagai bilangan pandigital jika kita menggunakan semua digit dari 1 sampai n satu kali; sebagai contoh, bilangan 5 digit, 15234, adalah bilangan pandigital 1 sampai 5

7254 dapat ditulis sebagai hasil perkalian bilangan 39 × 186 = 7254, dan jika identitas ini dilihat dengan seksama, kita dapat menemukan semua angka dari 1 sampai 9. Identitas seperti ini dapat juga disebut pandigital.

Carilah jumlah dari semua bilangan, yang jika ditulis sebagai hasil kali, identitasnya dapat ditulis sebagai pandigital 1 sampai 9.

Answer: 100f6e37d0b0564490a2ee27eff0660d

Soal 33

Pecahan ⁴⁹/₉₈ adalah pecahan yang menarik, karena seseorang yang tidak paham matematika mungkin akan mencoba untuk menyederhanakan pecahan tersebut dengan menghapus angka yang sama, yaitu angka 9 pada pembilang dan penyebut ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈, dan kebetulan hasilnya benar.

Pecahan angka puluhan seperti, ³⁰/₅₀ = ³/₅, dapat kita sebut sebagai kasus trivial, dan tidak kita ikut sertakan pada perhitungan ini.

Hanya terdapat empat buah pecahan seperti ini yang tidak trivial, yang nilai desimalnya kurang dari satu, dan memiliki dua digit baik pada pembilang maupun penyebut

Jika hasil kali dari keempat pecahan ini diberikan dalam sampai yang bentuk yang paling sederhana, carilah nilai dari penyebutnya.

Answer: f899139df5e1059396431415e770c6dd

Soal 34

145 adalah bilangan yang menarik, karena 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

Carilah jumlah semua bilangan yang jika faktorial dari semua digitnya dijumlahkan, hasilnya adalah bilangan yang sama.

Catatan: walaupun 1! = 1 dan 2! = 2, namun mereka tidak diikutsertakan karena bukan merupakan hasil penjumlahan beberapa faktorial digit.

Answer: 60803ea798a0c0dfb7f36397d8d4d772

Soal 35

Bilangan 197 dapat disebut bilangan prima siklik karena semua perputaran digitnya: 197, 971, dan 719, merupakan bilangan prima.

Terdapat tiga belas buah bilangan prima siklik yang lebih kecil daripada 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, dan 97.

Berapa banyak bilangan prima siklik yang lebih kecil dari satu juta?

Answer: b53b3a3d6ab90ce0268229151c9bde11

Soal 36

Bilangan desimal 585 = 1001001001₂ (biner), adalah bilangan palindrom, baik dalam basis 10 (desimal) ataupun basis 2 (biner).

Carilah jumlah dari semua bilangan, yang lebih kecil daripada satu juta, yang merupakan bilangan palindrom dalam basis 10 (desimal) dan dalam basis 2 (biner).

(Harap diingat, bahwa bilangan palindrom, dalam basis berapapun, tidak boleh diawali oleh angka nol.)

Answer: 0e175dc2f28833885f62e7345addff03

Soal 37

Bilangan 3797 memiliki sifat yang unik. Bilangan tersebut adalah prima, dan jika kita menghapus satu per satu digitnya dari kiri ke kanan, semua bilangan barunya tetaplah bilangan prima: 3797, 797, 97, dan 7. Kita dapat juga membuang digit dengan cara yang sama dari kanan ke kiri: 3797, 379, 37, dan 3, dan semua bilangan barunya juga tetaplah bilangan prima.

Hanya ada sebelas buah bilangan prima yang jika digitnya dihapus satu per satu baik dari kiri ke kanan maupun kanan ke kiri, tetap merupakan bilangan prima. Carilah jumlah kesebelas bilangan prima tersebut.

Catatan: 2, 3, 5, dan 7 tidak termasuk dalam kesebelas bilangan tersebut.

Answer: cace46c61b00de1b60874936a093981d

Soal 38

Ambil bilangan 192 dan kalikan dengan 1, 2, dan 3, akan didapat:

192 × 1 = 192
192 × 2 = 384
192 × 3 = 576

Dengan menyatukan semua hasil kali tersebut, kita akan mendapatkan bilangan pandigital 1 sampai 9, 192384576. Kita akan menyebut 192384576 sebagai hasil kali terangkaikan dari 192 dan (1,2,3)

Hasil yang serupa bisa didapatkan dengan angka 9 dan mengalikannya dengan 1, 2, 3, 4, dan 5, yang memberikan bilangan pandigital, 918273645, di mana bilangan ini merupakan hasil kali terangkaikan dari 9 dan (1,2,3,4,5).

Berapakah bilangan terbesar pandigital 1 sampai 9 yang dapat kita bentuk dari hasil kali terangkai suatu bilangan bulat dan (1,2, ... , n) di mana n > 1?

Answer: f2a29ede8dc9fae7926dc7a4357ac25e

Soal 39

Misalkan p adalah keliling dari sebuah segitiga siku-siku yang memiliki sisi {a,b,c}, dan a,b,dan c adalah bilangan bulat. Maka akan ada tiga buah segitiga untuk p = 120.

{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}

Berapakah nilai p ≤ 1000, yang akan menghasilkan jumlah segitiga siku-siku paling banyak?

Answer: fa83a11a198d5a7f0bf77a1987bcd006

Soal 40

Bentuk desimal dari sebuah pecahan irasional dibuat dengan merangkaikan barisan bilangan bulat positif:

0.123456789101112131415161718192021...

Dapat dilihat bahwa digit ke-12 di belakang koma adalah 1.

Jika d_n melambangkan digit ke-n di belakang koma, carilah hasil dari bentuk berikut ini.

d₁ × d₁₀ × d₁₀₀ × d₁₀₀₀ × d₁₀₀₀₀ × d₁₀₀₀₀₀ × d_1000000

Answer: 6f3ef77ac0e3619e98159e9b6febf557

Soal 41

Kita dapat menyebut sebuah bilangan dengan n digit sebagai pandigital jika kita menggunakan semua digit dari 1 sampai n persis satu kali. Sebagai contoh, 2143 adalah bilangan pandigital 4 digit yang kebetulan juga merupakan bilangan prima.

Berapakah bilangan pandigital prima terbesar yang ada di dunia ini?

Answer: d0a1bd6ab4229b2d0754be8923431404

Soal 42

Suku ke-n dari barisan bilangan segitiga dapat dihitung sebagai t_n = ½n(n+1); sehingga sepuluh bilangan segitiga pertama adalah:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

Dengan mengubah setiap huruf menjadi angka yang sesuai dengan urutan pada alfabet, dan menjumlahkan semua angka yang didapat untuk tiap kata, kita bisa mendapatkan nilai kata tersebut. Sebagai contoh, nilai dari kata SKY adalah 19 + 11 + 25 = 55 = t₁₀. Jika nilai kata yang didapat termasuk dalam barisan bilangan segitiga, maka kata tersebut akan kita sebut sebagai kata segitiga

Menggunakan [words.txt](/projecteuler/files/words.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), sebuah berkas berukuran 16K yang berisi kurang lebih dua ribu kata dalam bahasa Inggris, berapa banyak kata segitiga dalam berkas tersebut?

Answer: 82aa4b0af34c2313a562076992e50aa3

Soal 43

Bilangan 1406357289, adalah bilangan pandigital dari 0 sampai 9, karena bilangan ini memuat digit 0 sampai 9 tepat satu kali dengan urutan yang acak. Namun bilangan 1406357289 juga memiliki sifat lain yang cukup menarik, yaitu sifat habis dibaginya sub-string dari bilangan tersebut dengan bilangan prima.

Misalkan d₁ adalah digit ke-1, d₂ adalah digit ke-2, dan seterusnya. Dengan mengingat notasi ini, kita bisa menemukan bahwa:

• d₂d₃d₄=406 habis dibagi 2
• d₃d₄d₅=063 habis dibagi 3
• d₄d₅d₆=635 habis dibagi 5
• d₅d₆d₇=357 habis dibagi 7
• d₆d₇d₈=572 habis dibagi 11
• d₇d₈d₉=728 habis dibagi 13
• d₈d₉d₁₀=289 habis dibagi 17

Carilah jumlah dari semua bilangan pandigital dari 0 sampai 9 yang memiliki sifat ini.

Answer: 115253b7721af0fdff25cd391dfc70cf

Soal 44

Bilangan segilima dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut, P_n=n(3n−1)/2. Sepuluh bilangan segilima pertama adalah:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...

Dapat dilihat bahwa P₄ + P₇ = 22 + 70 = 92 = P₈. Tetapi, selisih keduanya, 70 − 22 = 48, bukanlah bilangan segilima.

Carilah pasangan bilangan segilima, P_j dan P_k, di mana jumlah dan selisihnya juga merupakan bilangan segilima dengan nilai D = |P_k − P_j| paling kecil; berapakah nilai dari D?

Answer: 2c2556cb85621309ca647465ffa62370

Soal 45

Bilangan segitiga, segilima, dan segienam dapat dibentuk dari rumus berikut ini:

Dapat dibuktikan bahwa T₂₈₅ = P₁₆₅ = H₁₄₃ = 40755.

Carilah bilangan segitiga selanjutnya yang juga merupakan bilangan segilima dan segienam.

Answer: 30dfe3e3b286add9d12e493ca7be63fc

Soal 46

Christian Goldbach pernah mengajukan dugaan bahwa setiap bilangan ganjil yang bukan bilangan prima dapat dibentuk dari penjumlahan bilangan prima dengan kelipatan dua suatu bilangan kuadrat.

9 = 7 + 2×1²
15 = 7 + 2×2²
21 = 3 + 2×3²
25 = 7 + 2×3²
27 = 19 + 2×2²
33 = 31 + 2×1²

Namun ternyata dugaan ia salah.

Berapakah bilangan ganjil komposit (bukan bilangan prima) terkecil yang tidak bisa dituliskan sebagai hasil penjumlahan suatu bilangan prima dengan kelipatan dua suatu bilangan kuadrat?

Answer: 89abe98de6071178edb1b28901a8f459

Soal 47

Dua bilangan berurutan paling kecil yang memiliki faktor prima berbeda adalah:

14 = 2 × 7
15 = 3 × 5

Tiga bilangan berurutan paling kecil yang memiliki tiga faktor prima berbeda adalah:

644 = 2² × 7 × 23
645 = 3 × 5 × 43
646 = 2 × 17 × 19.

Carilah empat bilangan berurutan paling kecil yang memiliki empat faktor prima berbeda. Berapakah bilangan pertama dari keempat bilangan berurutan tersebut?

Answer: 748f517ecdc29106e2738f88aa7530f4

Soal 48

Deret 1¹ + 2² + 3³ + ... + 10¹⁰ = 10405071317.

Carilah 10 digit terakhir dari jumlahan deret 1¹ + 2² + 3³ + ... + 1000¹⁰⁰⁰.

Answer: 0829124724747ae1c65da8cae5263346

Soal 49

Suatu barisan aritmatika, 1487, 4817, 8147, yang tiap sukunya memiliki beda 3330, memiliki dua buah keunikan: (i) ketiga-tiganya adalah merupakan bilangan prima, dan, (ii) keempat digit pada setiap suku merupakan perubahan posisi/permutasi dari suku yang lain.

Tidak ada barisan aritmatika yang suku-sukunya merupakan bilangan prima satu, dua, atau tiga digit yang memiliki sifat di atas, namun masih ada satu lagi kelompok barisan aritmatika empat digit yang bisa memenuhi sifat di atas.

Jika ketiga suku dari barisan aritmatika tersebut dirangkaikan, maka akan terbentuk satu bilangan yang terdiri atas 12 digit. Berapakah bilangan tersebut?

Answer: 0b99933d3e2a9addccbb663d46cbb592

Soal 50

Bilangan prima 41, dapat dibentuk dari penjumlahan enam bilangan prima berurutan:

Ini adalah penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan yang jumlahnya menghasilkan bilangan prima kurang dari seratus.

Penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan yang hasilnya adalah bilangan prima kurang dari seribu membutuhkan 21 suku, dan hasilnya adalah 953.

Berapakah bilangan prima di bawah satu juta yang dapat dibentuk dari penjumlahan paling panjang bilangan prima berurutan?

Answer: 73229bab6c5dc1c7cf7a4fa123caf6bc

Soal 51

Dengan mengganti digit ke-1 dari bilangan 2 digit dengan bentuk *3, terdapat enam buah bilangan prima dari sembilan bilangan yang ada: 13, 23, 43, 53, 73, dan 83.

Dengan menukarkan digit ke-3 dan ke-4 dari bentuk bilangan 56**3 dengan digit yang sama, maka akan didapatkan sekumpulan bilangan 5 digit, dengan tujuh buah bilangan prima dari sepuluh kemungkinan bilangan yang ada: 56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, dan 56993. Dan 56003, me rupakan bilangan prima yang paling kecil dari kelompok ini.

Carilah bilangan prima yang paling kecil dari suatu kelompok, dimana kelompok tersebut didapatkan dengan mengganti beberapa bagian dari bil angan (tidak harus berurutan) dengan digit yang sama, dan kelompok tersebut memiliki delapan buah bilangan prima.

Answer: e2a8daa5eb919905dadd795593084c22

Soal 52

Dapat dilihat bahwa bilangan 125874, dan kelipatan duanya, 251748, mengandung digit-digit yang sama, namun dengan urutan yang berbeda.

Carilah bilangan bulat terkecil x, sedemikian rupa sehingga 2x, 3x, 4x, 5x, dan 6x mengandung digit-digit yang sama.

Answer: a420384997c8a1a93d5a84046117c2aa

Soal 53

Terdapat persis sepuluh cara untuk memilih tiga angka dari bilangan 12345:

123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, and 345

Dalam kombinatorika, kita menggunakan lambang, ⁵C₃ = 10.

Secara umum,

Saat n = 23, nilai kombinasi yang ada akan melebihi satu juta: ²³C₁₀ = 1144066.

Berapa banyak kombinasi  ⁿC_r yang akan menghasilkan nilai lebih dari satu juta, untuk n, 1 ≤ n ≤ 100? (Hasil kombinasi boleh sama)

Answer: e3b21256183cf7c2c7a66be163579d37

Soal 54

Dalam permainan kartu poker, seorang pemain bisa memegang lima kartu. Susunan kelima kartu tersebut dapat diperingkatkan, dari peringkat rendah ke peringkat tinggi dengan aturan sebagai berikut:

• High Card: Satu kartu yang memiliki nilai paling tinggi.
• One Pair: Satu pasang kartu yang memiliki nilai sama.
• Two Pairs: Terdapat dua One Pair berbeda.
• Three of a Kind: Tiga buah kartu yang memiliki nilai yang sama.
• Straight: Semua kartu memiliki nilai yang berurutan.
• Flush: Semua kartu memiliki suit (Spade, Heart, Diamond, Club) yang sama.
• Full House: Gabungan Three of a Kind dan One Pair.
• Four of a Kind: Empat kartu yang memiliki nilai yang sama.
• Straight Flush: Semua kartu memiliki nilai yang berurutan dan memiliki suit (Spade, Heart, Diamond, Club) yang sama.
• Royal Flush: Sepuluh, Jack, Queen, King, Ace, dalam suit (Spade, Heart, Diamond, Club) yang sama.

Semua kartu memiliki urutan nilai:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Queen, King, Ace.

Jika dua pemain memegang susunan kartu yang memiliki peringkat yang sama, maka kartu kedua pemain tersebut akan dibandingkan nilainya, yang memiliki nilai lebih besar menang; sebagai contoh, sepasang (One Pair) kartu delapan mengalahkan sepasang (One Pair) kartu lima. Namun apabila tidak bisa ditemukan nilai yang lebih besar, sebagai contoh, kedua pemain memiliki sepasang (One Pair) kartu queen, maka akan dilihat kartu sisanya, dan kartu sisa tersebut akan dibandingkan (lihat contoh 4 di bawah); Jika kartu dengan peringkat tertinggi dari kedua pemain ternyata seri, maka kartu peringkat selanjutnya yang akan dibandingkan, dan seterusnya.

Perhatikan kelima kartu yang dimiliki oleh dua pemain berikut:

File, [poker.txt](/projecteuler/files/poker.txt), berisi seribu permainan acak yang dimainkan oleh dua orang pemain. Setiap baris dalam berkas berisi sepuluh kartu (yang dipisah oleh sebuah spasi): lima kartu pertama adalah milik pemain 1, dan lima kartu selanjutnya adalah milik pemain 2. Anda dapat mempercayai bahwa semua kartu yang ada sudah benar (tidak ada huruf yang salah diketik atau kartu ganda), Kartu pada setiap pemain dituliskan dengan urutan acak, dan dalam setiap permainan pasti ada pemenangnya.

Berapa kali pemain 1 menang?

Answer: 142949df56ea8ae0be8b5306971900a4

Soal 55

Jika kita memilih bilangan 47, lalu menjumlahkan dengan kebalikannya, 47 + 74 = 121, akan didapat hasil palindrom.

Namun cara ini tidak selalu langsung menghasilkan bilangan palindrom. Sebagai contoh,

349 + 943 = 1292,
1292 + 2921 = 4213
4213 + 3124 = 7337

Seperti contoh di atas, 349 memerlukan tiga iterasi dari cara di atas untuk mendapatkan bilangan palindrom.

Meskipun belum ada seorangpun yang membuktikannya, diduga bahwa ada beberapa bilangan, seperti 196, yang tidak bisa menghasilkan bilangan palindrom dengan cara di atas. Bilangan yang tidak dapat menghasilkan bilangan palindrom dengan cara menjumlahkan dengan kebalikannya disebut bilangan Lychrel.

Untuk keperluan penelitian ini, kita asumsikan bahwa semua bilangan adalah bilangan Lychrell, sampai bisa dibuktikan sebaliknya. Anggaplah bahwa untuk semua bilangan yang lebih kecil daripada sepuluh ribu, bilangan tersebut kemungkinan akan (i) menjadi bilangan palindrom setelah pengulangan proses (iterasi) kurang dari lima puluh kali, atau, (ii) kita tidak dapat menghasilkan bilangan palindrom, walaupun kita menggunakan segala kemampuan atau alat yang ada. Sebagai informasi, 10677 adalah bilangan pertama yang membutuhkan lebih dari lima puluh kali pengulangan agar dapat menghasilkan bilangan palindrom : 4668731596684224866951378664 (53 pengulangan, 28 angka).

Menariknya, ada beberapa bilangan palindrom yang juga merupakan bilangan Lychrel; contohnya 4994.

Berapa banyak bilangan Lychrel yang besarnya kurang dari sepuluh ribu?

Answer: 077e29b11be80ab57e1a2ecabb7da330

Soal 56

Satu googol (10¹⁰⁰) adalah bilangan yang sangat besar: angka satu diikuti oleh seratus buah angka nol; 100¹⁰⁰ juga merupakan bilangan yang bahkan lebih besar: angka satu diikuti oleh dua ratus buah angka nol. Namun walaupun berukuran besar, jumlah dari semua angkanya hanya 1.

Misalkan ada sebuah bilangan asli yang memiliki bentuk a^b, di mana a, b < 100, berapakah jumlah terbesar dari angka-angka dalam a^b?

Answer: c22abfa379f38b5b0411bc11fa9bf92f

Soal 57

Kita dapat menunjukkan bahwa akar dua dapat dinyatakan sebagai penjumlahan suatu pecahan sebanyak tak hingga kali.

√ 2 = 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + … ))) = 1.414213…

Dengan menghitung empat iterasi pertama dari rumus di atas, kita akan mendapat:

1 + 1/2 = 3/2 = 1.5
1 + 1/(2 + 1/2) = 7/5 = 1.4
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2)) = 17/12 = 1.41666…
1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/2))) = 41/29 = 1.41379…

Tiga iterasi selanjutnya akan menghasilkan 99/70, 239/169, dan 577/408, Namun pada iterasi ke delapan, 1393/985, untuk pertama kalinya kita dap at menemukan banyaknya digit pada pembilang lebih banyak daripada pada penyebut.

Dalam seribu iterasi pertama, berapa banyak pecahan yang pembilangnya memiliki banyak digit yang lebih banyak dibanding penyebutnya?

Answer: b3e3e393c77e35a4a3f3cbd1e429b5dc

Soal 58

Dengan memulai menuliskan angka 1 di tengah, lalu berputar berlawanan arah jarum jam seperti pada bentuk berikut, kita dapat membentuk suatu spiral angka persegi dengan ukuran sisi 7.

37 36 35 34 33 32 31
38 17 16 15 14 13 30
39 18  5  4  3 12 29
40 19  6  1  2 11 28
41 20  7  8  9 10 27
42 21 22 23 24 25 26
43 44 45 46 47 48 49

Ada satu hal yang menarik, yaitu bilangan ganjil kuadrat tersusun di diagonal sebelah kanan bawah. Namun yang lebih menarik lagi, 8 dari 13 angka yang ada pada kedua diagonal adalah prima sehingga perbandingannya dapat dituliskan 8/13 ≈ 62%.

Jika satu lapis spiral lagi dibuat di sekeliling spiral di atas, maka kita akan mendapatkan spiral angka persegi dengan ukuran sisi 9. Jika proses ini dilanjutkan, berapakah panjang sisi terkecil dari persegi spiral angka seperti di atas, sehingga spiral tersebut memiliki perbandingan bilangan prima terhadap semua angka pada diagonal yang nilainya jatuh bawah 10%?

Answer: b62fc92a2561538525c89be63f36bf7b

Soal 59

Setiap karakter pada komputer disimpan dengan kode unik, dan salah satu standar konversi karakter tersebut adalah ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Sebagai contoh, huruf A kapital memiliki kode A = 65, tanda bintang (*) = 42, dan huruf k kecil memiliki kode k = 107.

Proses enkripsi modern yang diterapkan pada suatu berkas, akan mengubah huruf ke kode ASCII-nya, lalu melakukan operasi XOR untuk setiap nilai yang didapat dengan nilai yang tertentu, yang diambil dari kunci rahasia. Keuntungan menggunakan metode XOR adalah kita dapat menggunakan kunci rahasia yang sama saat melakukan enkripsi untuk mengamankan teks, dan melakukan dekripsi kembali menjadi teks awal; sebagai contoh, 65 XOR 42 = 107, lalu 107 XOR 42 = 65.

Agar proses enkripsi tidak mudah ditembus, maka dibuatlah kunci rahasia yang sama panjang dengan teks awal, dan kunci ini dibentuk dari angka acak. Sang pengguna komputer akan menaruh pesan yang telah dienkripsi dan kunci rahasia tersebut di tempat yang berbeda, dan tanpa mengetahui keduanya, tidak memungkinkan untuk melakukan dekripsi pesan.

Sayangnya, metode ini tidak praktis untuk kebanyakan pengguna, sehingga metode ini disempurnakan dengan menggunakan kata sandi sebagai kunci rahasia. Jika kata sandi lebih pendek dari pesan yang ingin dikirim (dan sering kali terjadi demikian), maka kata sandi akan diulang terus menerus sampai sama panjang dengan pesan yang ingin dikirim. Keseimbangan dari metode ini adalah kita dapat menggunakan kata sandi yang cukup panjang, untuk berusaha mengamankan pesan yang ingin dikirim, namun yang masih memungkinkan untuk diingat.

Terdapat pesan rahasia yang ada di berkas cipher1.txt (klik kanan dan pilih ‘Save Link/Target As…’), berkas tersebut berisi pesan rahasia dalam bentuk kode ASCII. Tugas Anda akan dipermudah, yaitu dengan mengetahui bahwa kata sandi yang digunakan untuk enkripsi pesan ini adalah hanya terdiri dari tiga huruf kecil, dan pesan rahasia ini adalah sebuah pesan yang berisi kata berbahasa Inggris. Dekripsilah pesan tersebut, dan cari jumlah dari semua nilai ASCII pada pesan tersebut.

CATATAN: Enkripsi adalah proses mengubah pesan asli menjadi kode rahasia, Dekripsi adalah proses mengubah kembali kode rahasia menjadi pesan asli.

Answer: 68f891fe214e2bfa07c998ad5d0a390f

Soal 60

Bilangan prima 3, 7, 109, dan 674, sangat patut diperhatikan. Dengan mengambil dua dari empat buah bilangan prima tersebut, lalu merangkaikannya dengan susunan apapun, kita akan mendapatkan bilangan baru yang selalu prima. Sebagai contoh, ambil bilangan 7 dan 109, lalu rangkaikan. Keduanya baik 7109 maupun 1097 adalah bilangan prima. Jumlah dari ke empat bilangan prima di atas adalah 792, dan ini merupakan jumlah terkecil dari himpunan empat bilangan prima yang memiliki sifat seperti yang dijelaskan di atas.

Carilah jumlah terkecil dari himpunan lima bilangan prima, yang memiliki sifat bahwa bila dua bilangan primanya dirangkaikan, kita akan selalu mendapatkan bilangan prima.

Answer: a4b5a70ca8cf24d0eb4330748d1e72e5

Soal 61

Bilangan segitiga, segiempat, segilima, segienam, segitujuh, dan segidelapan adalah bilangan yang menggunakan nama segi banyak, dan bilangan tersebut dapat dibuat dengan rumus:

Sebuah himpunan dari tiga buah bilangan dengan 4 digit: 8128, 2882, 8281, memiliki tiga sifat yang menarik.

1. Himpunan tersebut siklik, dua digit terakhir dari suatu bilangan adalah digit-digit awal dari bilangan selanjutnya (sifat ini juga berlaku untuk bilangan terakhir terhadap yang pertama).
2. Semua bilangan pada himpunan di atas merupakan bilangan segibanyak yang berbeda: segitiga (P_3,127=8128), segiempat (P_4,91=8281), dan segilima (P_5,44=2882).
3. Himpunan ini adalah satu-satunya himpunan bilangan 4 angka yang memiliki kedua sifat di atas.

Carilah himpunan yang mirip seperti himpunan di atas, namun mengandung enam buah bilangan 4 angka, yang merupakan himpunan siklik, dan memiliki bilangan segitiga, segiempat, segilima, segienam, segitujuh, dan segidelapan yang berbeda.

Answer: caec17d84884addeec35c3610645ab63

Soal 62

Digit-digit pada bilangan kubik, 41063625 (345³), dapat diacak untuk membuat dua bilangan kubik lain: 56623104 (384³) dan 66430125 (405³). Faktanya, 41063625 adalah bilangan kubik terkecil yang memiliki tiga buah bilangan kubik, hasil pengacakan semua digitnya .

Carilah bilangan kubik terkecil, yang apabila digit-digitnya diacak, bisa menghasilkan lima bilangan kubik termasuk dengan bilangan itu sendiri.

Answer: 8f46b522b5401b8b6df99a7410eea44b

Soal 63

Sebuah bilangan dengan 5 digit, 16807=7⁵, juga merupakan hasil pangkat lima suatu bilangan lain. Hal yang serupa, bilangan 9 digit, 134217728=8⁹, adalah hasil pangkat sembilan suatu bilangan lain.

Berapa banyak bilangan positif n-digit, yang juga merupakan hasil pangkat n suatu bilangan?

Answer: f457c545a9ded88f18ecee47145a72c0

Soal 64

Semua akar kuadrat adalah periodik (berulang) saat ditulis dalam pecahan kontinu seperti berikut ini:

Sebagai contoh, perhatikan √23:

Jika kita melanjutkannya, maka kita akan mendapatkan bentuk sebagai berikut:

Dan proses di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

Kita dapat menemukan bahwa terdapat pola berulang. Untuk memudahkan, kita gunakan lambang √23 = [4;(1,3,1,8)], untuk memberitahu bahwa blok (1,3,1,8) berulang sampai tak hingga kali

Sepuluh representasi pecahan kontinu dari bilangan akar kuadrat (bilangan irasional) adalah:

√2=[1;(2)], periode=1
√3=[1;(1,2)], periode=2
√5=[2;(4)], periode=1
√6=[2;(2,4)], periode=2
√7=[2;(1,1,1,4)], periode=4
√8=[2;(1,4)], periode=2
√10=[3;(6)], periode=1
√11=[3;(3,6)], periode=2
√12= [3;(2,6)], periode=2
√13=[3;(1,1,1,1,6)], periode=5

Terdapat persis empat buah dari bentuk di atas, untuk N ≤ 13, yang memiliki periode ganjil.

Berapakah banyaknya bentuk di atas, untuk N ≤ 10000 yang memiliki periode ganjil?

Answer: dc960c46c38bd16e953d97cdeefdbc68

Soal 65

Akar kuadrat dari 2 dapat ditulis sebagai pecahan kontinu.

Pecahan kontinu tersebut dapat ditulis, √2 = [1;(2)], (2) menandakan bahwa 2 berulang secara ad infinitum (sampai tak hingga kali). Dengan proses yang sama, √23 = [4;(1,3,1,8)].

Ternyata teknik perhitungan akar kuadrat ini memberikan hasil rasional yang sangat mendekati nilai aslinya. Sebagai contoh kita akan melihat √2.

Barisan dari sepuluh bilangan pertama yang konvergen ke √2 adalah:

Yang mengejutkan, sebuah konstanta penting dalam matematika dapat juga dinyatakan dalam blok berulang, yaitu
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].

Sepuluh bentuk pecahan pertama yang konvergen kek e adalah:

Jumlah semua angka pada bilangan pembilang pecahan ke-10 adalah 1+4+5+7=17.

Carilah jumlah semua angka pada bilangan pembilang pecahan ke-100, dari pecahan kontinu yang konvergen ke e.

Answer: 7a614fd06c325499f1680b9896beedeb

Soal 66

Perhatikan sebuah persamaan kuadrat Diophantine sebagai berikut:

x² – Dy² = 1

Saat D=13, solusi minimal x adalah 649² – 13×180² = 1.

Kita dapat asumsikan bahwa tidak ada solusi bilangan bulat positif ketika D merupakan bilangan kuadrat.

Dengan mencari solusi minimal x untuk D = {2, 3, 5, 6, 7}, kita akan mendapatkan hasil sebagai berikut:

3² – 2×2² = 1
2² – 3×1² = 1
9² – 5×4² = 1
5² – 6×2² = 1
8² – 7×3² = 1

Dapat kita lihat solusi minimal x di atas untuk D ≤ 7, hasil x terbesar kita dapatkan saat D=5.

Carilah nilai D ≤ 1000, yang solusi minimal x nya merupakan solusi x terbesar.

Answer: 3a066bda8c96b9478bb0512f0a43028c

Soal 67

Dengan dimulai dari sisi atas segitiga seperti gambar berikut, dan berpindah ke angka sebelah kiri atau kanan pada baris di bawahnya, maka akan didapat bahwa jumlah bilangan maksimum dari atas sampai bawah adalah 23.

3
7 4
2 4 6
8 5 9 3

Jumlahnya, 3 + 7 + 4 + 9 = 23.

Carilah jumlah bilangan maksimum dengan cara serupa di atas, dari atas ke bawah pada segitiga [triangle.txt](/projecteuler/files/triangle.txt) (Klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), triangle.txt adalah sebuah berkas teks 15K yang memuat segitiga mirip seperti di atas sebanyak seratus baris.

NOTE: Ini adalah versi lebih sulit dari [Soal 18](#problem-18). Kita tidak dapat menyelesaikan masalah ini dengan mencoba melakukan perhitungan pada jalur satu per satu, karena terdapat 2⁹⁹ kemungkinan jalur! Bahkan jika anda dapat memeriksa satu triliun (10¹²) rute per detik pun, anda memerlukan lebih dari dua puluh miliar tahun untuk memeriksa semuanya. Terdapat cara yang efisien untuk menyelesaikan masalah ini. ;o)

Answer: 9d702ffd99ad9c70ac37e506facc8c38

Soal 68

Perhatikan sebuah cincin 3-gon "ajaib" , berisi angka dari 1 sampai 6. Setiap angka pada satu garis lurus akan berjumlah sembilan.

Dengan melihat garis yang titik luar dengan angka terkecil (4,3,2 pada contoh ini), lalu melihat berputar searah jarum jam, setiap gambar akan menghasilkan solusi unik. sebagai contoh, solusi dari bentuk di atas dapat dideskripsikan oleh himpunan: 4,3,2; 6,2,1; 5,1,3.

Cincin di atas dapat dibuat dengan berbagai jumlah angka dalam satu garis lurus, yaitu: 9, 10, 11, and 12. Terdapat sebanyak delapan solusi untuk cincin di atas.

Dengan merangkaikan setiap himpunan, kita bisa mendapatkan bilangan dengan 9 angka; dan angka terbesar untuk cincin 3-gon adalah 432621513.

Dengan menggunakan angka dari 1 sampai 10, dan dengan mencoba berbagai macam susunan, kita dapat membuat bilangan dengan 16 atau 17 angka. Berapakah bilangan dengan 16 angka terbesar yang dapat dibentuk dari cincin 5-gon "ajaib"?

Answer: 26227442c6fed0292a528ac3790175be

Soal 69

Fungsi Totient Euler, φ(n) [terkadang disebut fungsi phi], digunakan untuk menentukan banyaknya bilangan yang lebih kecil dari n, dan juga relatif prima terhadap n. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 5, 7, dan 8, adalah semua angka yang kurang dari sembilan, dan relatif prima terhadap sembilan, φ(9)=6.

Dapat kita lihat, bahwa saat n=6 kita mendapatkan nilai n/φ(n) terbesar, untuk n ≤ 10.

Carilah nilai dari n ≤ 1,000,000 dimana nilai n/φ(n) merupakan yang terbesar.

Catatan: Dua bilangan a dan b disebut relatif prima jika FPB(a,b)=1

Answer: bf08b01ead83cbd62a9839ca1cf35ada

Soal 70

Fungsi Totient Euler, φ(n) [terkadang disebut fungsi phi], digunakan untuk menentukan banyaknya bilangan yang lebih kecil dari n, dan juga relatif prima terhadap n. Sebagai contoh, 1, 2, 4, 5, 7, dan 8, adalah semua angka yang kurang dari sembilan, dan relatif prima terhadap sembilan, φ(9)=6.
Angka 1 dianggap relatif prima ke semua bilangan positif, sehingga φ(1)=1.

Yang menarik, φ(87109)=79180, dan dapat kita lihat bahwa bilangan 87109 merupakan permutasi dari 79180.

Carilah nilai dari n, 1 < n < 10⁷, di mana φ(n) merupakan permutasi dari n dan rasionya n/φ(n) menghasilkan nilai terkecil.

Answer: 1884dde67ced589082c8b7043abce181

Soal 71

Misalkan suatu pecahan n/d, di mana n dan d adalah bilangan bulat positif. Jika n<d dan FPB(n,d)=1, maka pecahan tersebut dapat disebut pecahan paling sederhana.

Jika kita membuat daftar semua pecahan yang paling sederhana untuk d ≤ 8 dari yang bernilai paling kecil ke paling besar, maka kita akan mendapatkan:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Dapat kita lihat bahwa 2/5 muncul persis di sebelah kiri dari 3/7.

Dengan membuat daftar semua pecahan paling sederhana untuk d ≤ 1.000.000 dari yang bernilai paling kecil ke paling besar, carilah pembilang yang persis ada di sebelah kiri dari 3/7.

Answer: 71f38fa2f04db30be52f883d583bfd6f

Soal 72

Misalkan suatu pecahan, n/d, dimana n dan d adalah bilangan bulat positif. Jika n<d dan FPB(n,d)=1, maka pecahan tersebut dapat disebut pecahan paling sederhana.

Jika kita membuat daftar semua pecahan yang paling sederhana untuk d ≤ 8 dari yang bernilai paling kecil ke paling besar, maka kita akan mendapatkan:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Dapat kita lihat bahwa terdapat 21 buah suku dalam barisan ini.

Berapa banyak elemen yang ada dalam himpunan semua pecahan yang paling sederhana untuk d ≤ 1,000,000?

Answer: 0384fb529dc651fe0f460acff3e9ac5d

Soal 73

Misalkan suatu pecahan, n/d, dimana n dan d adalah bilangan bulat positif. Jika n<d dan FPB(n,d)=1, maka pecahan tersebut dapat disebut pecahan paling sederhana.

Jika kita membuat daftar semua pecahan yang paling sederhana untuk d ≤ 8 dari yang bernilai paling kecil ke paling besar, maka kita akan mendapatkan:

1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8

Dapat kita lihat bahwa terdapat 3 pecahan lain antara 1/3 dan 1/2.

Berapa banyak pecahan yang terdapat antara 1/3 dan 1/2, dalam himpunan terurut semua pecahan yang paling sederhana untuk d ≤ 12,000?

Answer: 990a49eb474672444137fff1e5528a1b

Soal 74

Bilangan 145 dikenal karena sifatnya yang menarik, yaitu jumlah faktorial dari semua digitnya juga sama dengan 145:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

Namun jika dihitung dengan cara serupa seperti di atas, sifat ini tidak langsung terlihat pada angka 169. Bahkan bilangan 169 menciptakan rantai terpanjang yang akan kembali ke 169; ternyata hanya terdapat tiga buah rantai (loop) yang bisa kembali ke angka awalnya:

169 → 363601 → 1454 → 169
871 → 45361 → 871
872 → 45362 → 872

Tidaklah sulit untuk membuktikan bahwa bilangan-bilangan lain akan memiliki rantai yang tidak kembali ke awal, jika dihitung dengan cara serupa di atas. Sebagai contoh,

69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601 (→ 1454)
78 → 45360 → 871 → 45361 (→ 871)
540 → 145 (→ 145)

Jika rantai dibuat dengan angka awal 69, maka kita akan mendapatkan rantai yang berisi lima suku tidak berulang, dan diketahui bahwa rantai tidak berulang terpanjang yang dapat dibuat, dengan bilangan awal yang lebih kecil dari dari satu juta, memiliki enam puluh suku.

Berapa banyak rantai, dengan angka awal lebih kecil dari satu juta, yang memiliki persis enam puluh suku tidak berulang?

Answer: 69cb3ea317a32c4e6143e665fdb20b14

Soal 75

Diketahui bahwa 12 cm adalah panjang kawat terpendek yang bisa ditekuk untuk membentuk segitiga siku-siku yang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat. Berikut ini adalah beberapa contoh dari kawat lain.

12 cm: (3,4,5)
24 cm: (6,8,10)
30 cm: (5,12,13)
36 cm: (9,12,15)
40 cm: (8,15,17)
48 cm: (12,16,20)

Ada beberapa kawat, seperti yang memiliki panjang 20 cm, yang tidak bisa ditekuk untuk membentuk segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya berupa bilangan bulat. Sementara itu beberapa kawat lainnya memungkinkan untuk ditekuk menjadi lebih dari satu macam segitiga siku-siku yang panjang sisi-sisinya berupa bilangan bulat; sebagai contoh, kawat sepanjang 120 cm memungkinkan untuk dibuat menjadi tiga macam segitiga siku-siku yang panjang sisinya berupa bilangan bulat.

120 cm: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)

Diketahui L adalah panjang kawat. Berapakah banyak kawat dengan L ≤ 1,500,000 yang dapat membentuk persis satu buah segitiga siku-siku, yang panjang sisi-sisinya merupakan bilangan bulat?

Answer: 583e391a7bd87f785412f72f486433cb

Soal 76

Kita dapat menuliskan lima sebagai hasil penjumlahan bilangan-bilangan lain dengan enam cara:

4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

Berapakah banyaknya cara bilangan seratus ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan-bilangan lainnya?

Answer: 18ed0f01e082beffe0049ae1272689d2

Soal 77

Kita dapat menuliskan sepuluh sebagai hasil penjumlahan bilangan-bilangan prima dengan lima cara:

7 + 3
5 + 5
5 + 3 + 2
3 + 3 + 2 + 2
2 + 2 + 2 + 2 + 2

Berapakah bilangan terkecil yang dapat dituliskan sebagai jumlahan bilangan-bilangan prima dalam lebih dari lima ribu macam cara berbeda?

Answer: e2c420d928d4bf8ce0ff2ec19b371514

Soal 78

Misalkan p(n) adalah banyaknya cara mengelompokkan n buah koin. Sebagai contoh, lima koin dapat dikelompokkan dalam tujuh cara yang berbeda, sehingga p(5)=7.

Carilah nilai terkecil dari n, bila p(n) habis dibagi oleh satu juta.

Answer: ef2a8695e428116131cc94c651d0e566

Soal 79

Teknik pengamanan yang umum digunakan untuk perbankan daring (online banking) adalah dengan cara menanyakan pengguna tiga karakter acak dari sandi nasabah itu. Sebagai contoh jika sandi yang digunakan adalah 531278, bank bisa menanyakan angka ke-2, ke-3, dan ke-5; sehingga jawaban yang diharapkan oleh bank adalah: 317.

Sebuah berkas teks, [keylog.txt](/projecteuler/files/keylog.txt), berisi lima puluh proses login yang berhasil dari seorang nasabah bank.

Diketahui bahwa tiga karakter yang diminta oleh bank selalu diambil secara berurutan dari kiri ke kanan (contoh : bank tidak bisa mengambil angka ke-2, ke-9, lalu ke-3, karena angka ke-9 harusnya diambil terakhir). Analisislah berkas tersebut, dan tentukan sandi yang paling pendek yang mungkin digunakan oleh nasabah tersebut.

Answer: 3ccc6e16d99b21d42948f6d49b90fa30

Soal 80

Kita ketahui bahwa bila hasil akar kuadrat dari bilangan asli bukan merupakan bilangan bulat, maka akar kuadrat itu adalah bilangan irasional. Bentuk desimal dari akar kuadrat ini akan terus berlanjut tanpa ada pola yang berulang.

Akar kuadrat dari dua adalah 1,41421356237309504880…, dan penjumlahan dari seratus buah angka yang terletak di belakang koma adalah 475.

Untuk seratus bilangan asli pertama, carilah jumlah dari seratus buah angka-angkanya yang terletak di belakang koma, hanya untuk akar kuadrat yang irasional.

Answer: 6cc501a25298e4051886ef1a126e9484

Soal 81

Pada matriks ukuran 5 x 5 berikut ini, misalkan kita menelusuri jalur yang dimulai dari ujung kiri atas, ke ujung kanan bawah. Saat menelusuri jalur kita hanya dapat berpindah ke kanan dan bawah. Jalur yang memiliki hasil penjumlahan angka-angka terkecil ditandai dengan warna merah, dan jumlahnya sama dengan 2427.

Carilah jalur yang memiliki jumlah angka-angka terkecil, pada [matrix.txt](/projecteuler/files/matrix.txt) (klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."), sebuah berkas teks berukuran 31K yang berisi matriks berukuran 80 x 80. Jalur harus dimulai dari ujung kiri atas, dan bergerak menuju ujung kanan bawah, serta hanya diperbolehkan untuk berpindah ke kanan dan ke bawah.

Answer: f9ffec84499832add77e6a8bb00246ec

Soal 82

CATATAN: Soal ini adalah versi yang lebih menantang dari [Soal 81](#soal-81).

Jalur yang memiliki hasil penjumlahan angka-angka terkecil, pada matriks ukuran 5 x 5 berikut ini, ditandai dengan angka berwarna merah; jumlahnya adalah 994. Jalur dapat dimulai di manapun pada kolom paling kiri, dan harus berakhir di manapun pada kolom paling kanan, dan hanya diperbolehkan untuk bergeser ke atas, bawah, dan kanan.

Carilah jalur dengan hasil penjumlahan angka-angka terkecil, pada [matrix.txt](/projecteuler/files/matrix.txt) (klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."), sebuah berkas teks berukuran 31K yang berisi matriks berukuran 80 x 80. Jalur harus dimulai dari kolom paling kiri ke kolom paling kanan.

Answer: e6b3b1cd89b018d4754cf63863f6690a

Soal 83

CATATAN: Soal ini adalah versi yang jauh lebih menantang dari [Soal 81](#soal-81).

Pada matriks ukuran 5 x 5 berikut ini, jalur yang memiliki hasil penjumlahan angka-angka terkecil, dimulai dari pojok kiri atas, ke pojok kanan bawah, denagn bergerak ke kiri, kanan, atas, dan bawah, ditandai oleh angka berwarna merah, dan jumlahnya adalah 2297.

Carilah jalur yang memiliki hasil penjumlahan angka-angka terkecil, pada [matrix.txt](/projecteuler/files/matrix.txt) (klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."), sebuah berkas teks berukuran 31K yang berisi matriks berukuran 80 x 80. Jalur harus dimulai dari ujung kiri atas, ke ujung kanan bawah, dengan bergerak ke kiri, kanan, atas, dan bawah.

Answer: 61b28c4fbe8560003ee50fa5619d7a1e

Soal 84

Dalam permainan Monopoly, papan permainan standar yang digunakan adalah sebagai berikut:

Seorang pemain mulai dari petak GO, lalu jumlah dari dua buah dadu bermuka enam yang dilemparkan akan menjadi jumlah petak yang harus dilalui oleh pemain tersebut. Petak-petak harus dilalui searah jarum jam. Kita dapat mengunjungi semua petak dengan probabilitas yang sama, yaitu: 2.5%. Tetapi, berada di G2J (Go To Jail/Masuk Penjara), CC (community chest/dana umum), dan CH (chance/kesempatan) akan membuat peluang berubah.

Selain G2J, dan satu kartu dari CC serta CH, ada cara lain yang bisa membuat pemain untuk masuk PENJARA, yaitu jika pemain tiga kali berturut-turut memperoleh dadu yang kedua angkanya sama, mereka tidak maju pada putaran dadu ketiga, tetapi mereka langsung menuju ke kotak PENJARA.

Saat memulai permainan, tumpukan kartu CC dan CH diacak. Saat pemain sampai di kotak CC atau CH, ia akan mengambil satu kartu paling atas dari tumpukan yang sesuai, lalu setelah mengikuti petunjuk yang tertera pada kartu, kartu dikembalikan ke tumpukan yang paling bawah. Terdapat enam belas kartu dalam setiap tumpukan, namun dalam soal ini, kita hanya mempedulikan kartu yang bisa mempengaruhi perpindahan petak dari pemain; segala kartu yang isinya tidak berkaitan dengan perpindahan petak, tidak akan dipedulikan, dan pemain akan tetap berada di petak CC/CH.

• Community Chest/Dana Umum (2/16 kartu):
  1. Pindah ke kotak GO
  2. Masuk ke PENJARA
• Chance/Kesempatan (10/16 cards):
  1. Pindah ke petak GO
  2. Masuk ke PENJARA
  3. Pindah ke petak C1
  4. Pindah ke petak E3
  5. Pindah ke petak H2
  6. Pindah ke petak R1
  7. Pindah ke petak R selanjutnya (milik perusahaan kereta api/railway)
  8. Pindah ke petak R selanjutnya
  9. Pindah ke petak U selanjutnya (milik perusahaan listrik dan air)
  10. Mundur 3 petak.

Masalah utama dari soal ini berkaitan dengan kemungkinan untuk mengunjungi petak tertentu setelah melakukan putaran dadu. Perlu dijelaskan, bahwa dengan mengabaikan petak G2J, karena petak ini tidak mungkin menjadi petak yang ditempati setelah pemain memutar dadu, sehingga petak G2J akan mempunyai probabilitas nol untuk disinggahi setelah dadu diputar. Petak CH akan memiliki peluang paling kecil untuk ditempati, karena 10 dari 16 kartu pada chance/kesempatan akan membuat pemain pindah ke petak lain, dan kita hanya akan menghitung posisi paling akhir dari setiap putaran dadu pemain. Kita tidak akan membuat perbedaan antara "hanya sekedar lewat" dengan masuk ke PENJARA, dan kita juga akan mengabaikan aturan yang mengharuskan pemain memiliki dadu kembar untuk "keluar dari penjara", dengan asumsi semua pemain pasti membayar untuk keluar dari penjara.

Dengan memulai dari petak GO, lalu memberi nomor untuk setiap petak secara berurutan dari 00 ke 39, kita dapat merangkaikan bilangan dua digit tersebut, untuk membentuk untai yang akan melambangkan petak-petak yang telah dikunjungi.

Secara statistik, dapat ditunjukan tiga petak yang paling populer dikunjungi. Secara berurutan petak tersebut adalah, PENJARA (6.24%) = petak ke-10, E3 (3.18%) = petak ke-24, dan petak GO (3.09%) = petak ke-00. Sehingga ketiga petak yang paling sering dikunjungi tersebut dapat ditulis dengan bilangan enam digit: 102400.

Jika kita tidak menggunakan dadu bermuka enam, dan kedua dadu diganti menjadi dadu bermuka empat, carilah bilangan enam digit yang melambangkan kotak yang paling sering dikunjungi seperti di atas.

Answer: ead3264438ef83a8c2da2e98067b4445

Soal 85

Dengan menghitung secara teliti, dapat terlihat bahwa terdapat delapan belas segi empat, pada kisi berukuran 3 x 2:

Tidak ada kisi yang bisa menghasilkan persis dua juta segi empat. Namun carilah ukuran kisi yang bisa menghasilkan segi empat mendekati dua juta buah, lalu hitunglah luas kisi tersebut.

Answer: 92bf5e6240737e0326ea59846a83e076

Soal 86

Seekor laba-laba ditandai dengan huruf S, berada pada salah satu pojok ruangan berbentuk balok, dengan ukuran 6 x 5 x 3, dan seekor lalat ditandai dengan huruf F, berada di pojok seberangnya. Dengan berjalan pada permukaan ruangan, panjang jalur terpendek yang berupa "garis lurus" dari S ke F adalah 10, dan jalurnya ditunjukkan pada gambar.

Terdapat sampai tiga pilihan jalur terpendek untuk setiap balok, dan jalur terpendek dari pilihan tersebut terkadang bukanlah merupakan bilangan bulat.

Jika rotasi dari balok diabaikan, bisa ditunjukkan bahwa ada 2060 balok berbeda, untuk balok yang memiliki panjang sisi berupa bilangan bulat berukuran maksimum M x M x M (semua jalur terpendek adalah bilangan bulat), untuk M = 100. Ini adalah nilai M paling kecil, yang bisa menghasilkan jalur terpendek berupa bilangan bulat lebih besar dari dua ribu buah; jumlah jalur terpendek saat M = 99 adalah 1975.

Carilah nilai M terkecil sehingga jumlah jalur terpendek yang ada banyaknya melebihi satu juta (jalur harus berupa bilangan bulat).

Answer: f5c3dd7514bf620a1b85450d2ae374b1

Soal 87

Bilangan terkecil yang dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan kuadrat bilangan prima, pangkat tiga bilangan prima, dan pangkat empat bilangan prima adalah 28. Dan hanya terdapat persis empat bilangan kurang dari lima puluh yang bisa dituliskan dengan cara di atas:

28 = 2² + 2³ + 2⁴
33 = 3² + 2³ + 2⁴
49 = 5² + 2³ + 2⁴
47 = 2² + 3³ + 2⁴

Berapa banyak bilangan yang lebih kecil dari lima puluh juta, yang bisa dituliskan sebagai hasil penjumlahan kuadrat bilangan prima, pangkat tiga bilangan prima, dan pangkat empat bilangan prima?

Answer: e7fb7907f1af626cc42e787e367ec602

Soal 88

Sebuah bilangan asli N, yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan dan perkalian dari himpunan bilangan asli lain, {a₁, a₂, ... , a_k} disebut bilangan hasilkali-jumlahan: N = a₁ + a₂ + ... + a_k = a₁ × a₂ × ... × a_k.

Sebagai contoh, 6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

Jika banyaknya bilangan asli lain yang bisa digunakan adalah k, kita harus mencari bilangan N terkecil yang bisa memenuhi sifat hasilkali-jumlahan. Bilangan hasilkali-jumlahan terkecil untuk nilai k = 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah sebagai berikut.

k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

Kemudian untuk 2≤k≤6, jumlah semua bilangan hasilkali-jumlahan terkecilnya adalah 4+6+8+12 = 30; perhatikan bahwa 8 hanya dihitung sekali dalam penjumlahan tersebut.

Contoh lainnya, himpunan bilangan hasilkali-jumlahan terkecil untuk 2≤k≤12 adalah {4, 6, 8, 12, 15, 16}, dan jumlahnya adalah 61.

Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan hasilkali-jumlahan terkecil untuk 2≤k≤12000?

Answer: ffde7251f43906d31534ae69fa555757

Soal 89

Sebuah bilangan Romawi dapat dianggap sahih apabila mengikuti beberapa aturan dasar. Walaupun mungkin aturan tersebut akan membuat beberapa bilangan dapat ditulis dengan lebih dari satu cara, namun pasti terdapat cara penulisan "terbaik" dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh, terdapat setidaknya enam cara untuk menulis angka enam belas:

IIIIIIIIIIIIIIII
VIIIIIIIIIII
VVIIIIII
XIIIIII
VVVI
XVI

Tetapi, berdasarkan aturan, hanya XIIIIII dan XVI yang valid, dan XVI dianggap sebagai cara penulisan yang paling efisien, karena cara penulisan ini menggunakan huruf yang paling sedikit.

Sebuah berkas teks berukuran 11K, [roman.txt](/projecteuler/files/roman.txt), berisi seribu bilangan Romawi yang sahih, tetapi belum tentu paling efisien, lihat (see [About Roman Numerals](/projecteuler/files/about_roman_numerals.txt) untuk mengetahui aturan-aturan dasar apa saja yang digunakan pada soal ini.

Carilah banyaknya huruf yang bisa dihemat, apabila semua bilangan Romawi pada berkas teks tersebut ditulis dengan cara yang paling efisien.

Catatan: Anda dapat mengasumsikan semua bilangan Romawi yang ada di berkas teks tersebut tidak ada yang memiliki empat huruf yang sama secara berurutan.

Answer: 5c572eca050594c7bc3c36e7e8ab9550

Soal 90

Setiap sisi pada kubus ditulisi angka yang berbeda (0 sampai 9); hal yang sama dilakukan pada kubus yang kedua. Dengan meletakkan kedua kubus secara bersebelahan pada berbagai posisi yang berbeda, kita dapat membentuk berbagai macam bilangan 2 digit.

Sebagai contoh, bilangan kuadrat 64 dapat dibentuk dengan cara:

Dengan memilih angka pada kubus secara saksama, kita dapat menampilkan semua bilangan kuadrat kurang dari seratus: 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, and 81.

Sebagai contoh, salah satu caranya adalah dengan menuliskan {0, 5, 6, 7, 8, 9} pada kubus yang pertama dan {1, 2, 3, 4, 8, 9} pada kubus yang lainnya.

Tetapi, untuk soal ini, kita harus memperbolehkan untuk membalik angka 6 atau 9, sehingga susunan {0, 5, 6, 7, 8, 9} dan {1, 2, 3, 4, 6, 7} dapat menghasilkan kesembilan bilangan kuadrat di atas; apabila tidak diperbolehkan, akan mustahil untuk membentuk bilangan 09.

Saat menentukan susunan kubus yang berbeda, kita hanya memperhatikan angka-angka pada setiap kubus, bukan posisinya.

{1, 2, 3, 4, 5, 6} sama dengan {3, 6, 4, 1, 2, 5}
{1, 2, 3, 4, 5, 6} berbeda dengan {1, 2, 3, 4, 5, 9}

Namun karena kita memperbolehkan angka 6 dan 9 untuk dibalik, maka dua himpunan berbeda pada contoh terakhir, keduanya akan dianggap sebagai himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} saat digunakan untuk membentuk bilangan 2 digit.

Berapa banyak susunan kubus yang berbeda yang diperlukan supaya semua bilangan kuadrat dapat ditampilkan?

Answer: 6a61d423d02a1c56250dc23ae7ff12f3

Soal 91

Titik P (x₁, y₁) dan Q (x₂, y₂) memiliki koordinat berupa bilangan bulat, dan apabila digabung dengan titik asal, O(0,0), akan terbentuk ΔOPQ.

Terdapat persis empat belas segitiga siku-siku, yang dapat dibentuk jika koordinat berada di antara selang tertutup antara 0 dan 2; atau dapat ditulis
0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 2.

Diberikan 0 ≤ x₁, y₁, x₂, y₂ ≤ 50, berapa banyak segitiga siku-siku yang dapat dibentuk?

Answer: e8dc153260a59d4f236cfd7439d5dfd3

Soal 92

Sebuah rantai angka dapat dibuat dengan menjumlahkan terus menerus hasil kuadrat digit-digit dalam suatu bilangan, untuk membentuk bilangan baru, dan berhenti sampai ada bilangan sama yang muncul kembali.

Sebagai contoh,

44 → 32 → 13 → 10 → 1 → 1
85 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89

Karena itu, semua rantai yang terdapat bilangan 1 atau 89 akan terus menerus berputar. Yang istimewa adalah APAPUN angka mulainya, apabila dikerjakan dengan cara di atas, akan selalu tiba di 1 atau 89.

Berapa banyak bilangan awal dalam rantai seperti ini, yang besarnya kurang dari sepuluh juta, yang berakhir pada 89?

Answer: 6cee918c0612bccc2dac03d05e07035f

Soal 93

Dengan menggunakan semua bilangan dari himpunan {1, 2, 3, 4} masing-masing satu kali, dan menggunakan semua operasi aritmatika yang ada (+, −, *, /) serta dengan menggunakan tanda kurung, kita dapat membuat bilangan bulat positif baru.

Sebagai contoh,

8 = (4 * (1 + 3)) / 2
14 = 4 * (3 + 1 / 2)
19 = 4 * (2 + 3) − 1
36 = 3 * 4 * (2 + 1)

Perhatikan bahwa perangkaian digit, seperti 12 + 34, adalah tidak diperbolehkan.

Menggunakan himpunan, {1, 2, 3, 4}, kita dapat mendapatkan tiga puluh satu buah bilangan bulat baru berbeda, dan bilangan 36 adalah yang paling besar, dan semua angka dari 1 sampai 28 masih bisa dibentuk oleh himpunan tersebut, sebelum akhirnya tidak ada lagi bilangan yang bisa dibentuk.

Carilah himpunan empat digit berbeda, a < b < c < d, di mana himpunan tersebut dapat menghasilkan bilangan-bilangan baru berurutan yang paling panjang, dari 1 sampai n. Berikan jawaban anda dalam format tulisan: abcd.

Answer: 26588e932c7ccfa1df309280702fe1b5

Soal 94

Kita dapat dengan mudah membuktikan, bahwa tidak terdapat segitiga sama sisi yang memiliki panjang sisi dan luas berupa bilangan bulat. Namun, terdapat segitiga yang hampir sama sisi 5-5-6 dan memiliki luas 12 satuan.

Kita akan menetapkan, bahwa sebuah segitiga yang hampir sama sisi adalah sebuah segitiga yang dua buah sisinya sama panjang, dan panjang sisi ketiganya boleh berbeda tidak lebih dari satu satuan panjang dengan sisi lainnya.

Carilah jumlah keliling dari semua segitiga yang hampir sama sisi, yang memiliki panjang sisi dan luas berupa bilangan bulat, dan keliling masing-masing segitiganya tidak melebihi satu miliar (1.000.000.000).

Answer: 3218c6bb59f2539ec39ad4bf37c10913

Soal 95

Pembagi wajar dari suatu bilangan adalah kumpulan semua bilangan yang dapat membaginya habis, kecuali bilangan itu sendiri. Sebagai contoh, pembagi wajar dari 28 adalah 1, 2, 4, 7, dan 14. Lalu karena jumlah semua pembagi wajar tersebut juga sama dengan 28, kita dapat menyebut bilangan tersebut adalah bilangan sempurna.

Menariknya, hasil penjumlahan dari semua pembagi wajar 220 adalah 284 dan hasil penjumlahan dari semua pembagi wajar 284 adalah 220, terdapat “rantai” antara kedua bilangan tersebut. Karena adanya rantai tersebut, 220 dan 284 dapat disebut pasangan akrab.

Terdapat contoh bilangan lain yang dapat membentuk rantai lebih panjang. Sebagai contoh, dimulai dari 12496, kita dapat membentuk rantai dengan panjang lima bilangan:

12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 (→ 12496 → …)

Karena rantai ini kembali ke angka awalnya, maka rantai ini akan disebut rantai akrab.

Carilah bilangan terkecil, yang dapat membuat rantai akrab terpanjang, yang bilangan-bilangan pada rantainya tidak melebihi satu juta.

Answer: cd2018beeece5fb0a71a96308e567bde

Soal 96

Su Doku (jika diterjemahkan dari bahasa Jepang berarti letak angka) adalah nama yang diberikan untuk sebuah konsep teka-teki yang populer. Asal mulanya tidak diketahui, namun kita harus menghargai jasa Leonhard Euler yang menemukan ide teka-teki hampir serupa, dan lebih menantang, yang disebut kotak-kotak Latin ("Latin Squares"). Tujuan dari teka-teki Su Doku adalah untuk mengganti kotak kosong (atau nol) dalam kotak-kotak berukuran 9 x 9 dan pada setiap baris, kolom, dan kotak ukuran 3 x 3, terdapat semua angka dari 1 sampai 9. Berikut ini adalah contoh dari awal teka-teki, dan solusinya.

0 0 3 9 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 5 8 0 6 6 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 8 7 0 0 0 0 6 1 0 2 0 0 0 7 0 8 9 0 0 0 0 8 2 0 0 0 0 2 8 0 0 0 0 5 6 0 9 2 0 3 0 1 0 5 0 0 0 0 9 3 0 0

4 8 3 9 6 7 2 5 1 9 2 1 3 4 5 8 7 6 6 5 7 8 2 1 4 9 3 5 4 8 7 2 9 1 3 6 1 3 2 5 6 4 7 9 8 9 7 6 1 3 8 2 4 5 3 7 2 8 1 4 6 9 5 6 8 9 2 5 3 4 1 7 5 1 4 7 6 9 3 8 2

Sebuah teka-teki Su Doku yang baik memiliki solusi yang unik dan dapat diselesaikan oleh logika, walaupun terkadang diperlukan cara "coba-coba" dalam mencari solusi yang ada. Tingkat kesulitan dari teka-teki ini ditentukan oleh kerumitan mencari solusi; contoh di atas dapat dianggap sebagai contoh mudah karena dapat diselesaikan secara langsung, dengan mengamati kotak satu per satu.

Sebuah berkas teks berukuran 6K, [sudoku.txt](/projecteuler/files/sudoku.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), berisi lima puluh teka-teki Su Doku berbeda, dari berbagai tingkat kesulitan, namun semua teka-teki tersebut memiliki solusi yang berbeda (teka-teki yang pertama sama dengan contoh di atas).

Dengan menyelesaikan kelima puluh teka-teki yang ada, carilah jumlah dari semua 3 angka pertama pada pojok kiri atas; sebagai contoh, pada contoh teka-teki di atas, 3 angka pertama pada pojok kiri atasnya adalah 483.

Answer: 26f6abfa0d7725fef678e371897d5df0

Soal 97

Bilangan prima pertama yang memiliki lebih dari satu juta digit telah berhasil ditemukan pada tahun 1999. Bilangan tersebut merupakan bilangan prima Mersenne, yaitu 2^6972593−1; bilangan tersebut memiliki persis 2.098.960 digit. Kemudian bilangan prima Mersenne lainnya, dengan bentuk 2^p−1, telah ditemukan, dan bilangan tersebut memiliki digit yang lebih banyak.

Namun, pada tahun 2004 ditemukan sebuah bilangan prima bukan Mersenne besar yang memiliki 2.357.207 digit: 28433×2^7830457+1.

Carilah sepuluh angka terakhir dari bilangan prima ini.

Answer: 68c8c919526039022b923a72d5cc12b1

Soal 98

Dengan menukarkan setiap huruf dalam kata CARE dengan angka 1, 2, 9, dan 6 secara berurutan, kita dapat membentuk sebuah bilangan kuadrat: 1296 = 36². Yang mengesankan adalah, dengan menggunakan aturan penukaran yang sama, kata RACE, juga akan membentuk sebuah bilangan kuadrat: 9216 = 96². Kita akan menyebut kata CARE (dan RACE) sebagai kata kuadrat anagramik. Perlu diketahui bahwa digit pertama nol tidak diizinkan, dan juga tidak diperbolehkan untuk memberikan digit yang sama pada huruf yang berbeda.

Menggunakan [words.txt](/projecteuler/files/words.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), sebuah berkas teks berukuran 16K yang berisi hampir dua ribu kata dalam bahasa Inggris, carilah semua pasangan kata kuadrat anagramik (kata yang palindrom, TIDAK dianggap sebagai anagram dari dirinya sendiri).

Berapakah bilangan kuadrat terbesar yang ada?

CATATAN: Semua anagram yang mungkin terbentuk pasti sudah ada dalam berkas teks tersebut.

Answer: 36b3b5f54143786b7ab2ebb6bcd06e75

Soal 99

Membandingkan dua buah bilangan dalam bentuk perpangkatan seperti 2¹¹ dan 3⁷ tidaklah sulit, karena hampir semua kalkulator dapat membuktikan 2¹¹ = 2048 < 3⁷ = 2187.

Tetapi, membuktikan 632382⁵¹⁸⁰⁶¹ > 519432⁵²⁵⁸⁰⁶ akan lebih sulit, karena kedua bilangan memiliki lebih dari tiga juta digit.

Menggunakan [base_exp.txt](/projecteuler/files/base_exp.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), sebuah berkas teks berukuran 22K yang berisi seribu baris pasangan bilangan dengan pangkatnya, carilah baris ke berapakah yang memiliki hasil paling besar.

CATATAN: dua baris pertama pada berkas teks tersebut adalah sama seperti bilangan contoh di atas.

Answer: 1ecfb463472ec9115b10c292ef8bc986

Soal 100

Sebuah kotak berisi dua puluh satu cakram berwarna, yang terdiri dari lima belas cakram biru, dan enam cakram merah, dan dua cakram diambil secara acak secara satu persatu. Dapat terlihat peluang untuk mengambil dua cakram biru, P(BB) = (15/21)×(14/20) = 1/2.

Susunan lainnya, dengan peluang untuk mendapatkan cakram biru juga 50% , adalah sebuah kotak yang berisi delapan puluh lima cakram biru, dan tiga puluh lima cakram merah.

Carilah susunan lainnya yang berisi lebih dari 10¹² = 1,000,000,000,000 buah cakram, dan tentukan berapakan jumlah cakram biru dalam kotak tersebut, sehingga peluang mengambil dua cakram biru juga 50%.

Answer: 21156e3acc4ca35b7a318c541a0648d5

Soal 101

Jika kita diberikan k buah suku pertama dari suatu barisan bilangan, tidak mungkin kita dapat menentukan nilai dari suku selanjutnya, karena terdapat tak terhingga kemungkinan rumus suku banyak yang bisa sesuai dengan barisan tersebut.

Misalnya kita lihat barisan bilangan kubik. Barisan ini dibentuk dengan fungsi pembangkit
u_n = n³: 1, 8, 27, 64, 125, 216, ...

Misalkan kita hanya diberikan dua suku pertama dari barisan ini. Dengan menerapkan prinsip "makin sederhana makin baik" kita mungkin akan beranggapan bahwa barisan tersebut adalah barisan linear, dan memprediksi suku selanjutnya adalah 15 (karena memiliki beda yang sama, yaitu 7). Bahkan jika kita diberikan tiga suku pertama, dengan prinsip "makin sederhana makin baik", kita mungkin bisa beranggapan bahwa hubungan barisan tersebut adalah hubungan kuadrat.

OP(k, n) adalah fungsi yang akan memiliki k buah suku pertama yang benar saat dicocokkan dengan barisan, jika nilai n disubtitusikan. OP(k, n) akan memiliki suku yang sesuai untuk n ≤ k, dan kemungkinan suku yang tidak sesuai pertama akan ditemukan saat OP(k, k+1); yang dalam soal ini akan disebut sebagai bad OP (BOP), yang berarti suku banyak optimum yang keliru.

Sebagai contoh, jika kita hanya diberikan suku pertama dari barisan, kita mungkin akan menganggap barisan tersebut memiliki rumus konstan; sehingga, untuk n ≥ 2, OP(1, n) = u₁.

Sehingga kita dapat menghitung OP untuk barisan bilangan kubik berikut:

Dapat terlihat bahwa tidak ada kesalahan lagi (tidak ada BOP) saat k ≥ 4.

Dengan menjumlahkan suku-suku pertama yang salah, saat dibuat rumus OP (ditandai dengan warna merah pada bagian di atas), kita akan mendapatkan 1 + 15 + 58 = 74.

Misalkan terdapat sebuah fungsi pembangkit suku banyak derajat sepuluh:

u_n = 1 − n + n² − n³ + n⁴ − n⁵ + n⁶ − n⁷ + n⁸ − n⁹ + n¹⁰

Carilah jumlah suku-suku pertama yang salah, saat dibuat rumus OP.

Answer: d382b0cc25e82446da83d3a792e1cd27

Soal 102

Tiga titik berbeda ditaruh secara acak pada bidang kartesius, di mana tiap titik memiliki koordinat (x,y) memenuhi -1000 ≤ x, y ≤ 1000, sedemikian rupa sehingga ketiganya membentuk segitiga.

Misalkan terdapat dua segitiga:

A(-340,495), B(-153,-910), C(835,-947)

X(-175,41), Y(-421,-714), Z(574,-645)

Dapat dibuktikan bahwa segitiga ABC mengurung titik asal O(0,0), dan segitiga XYZ tidak.

Dengan menggunakan triangles.txt (klik kanan dan pilih ‘Save Link/Target As…’), sebuah berkas teks berukuran 27K yang berisi koordinat dari seribu buah segitiga acak, carilah banyaknya segitiga yang mengurung titik asal O(0,0).

CATATAN: dua contoh pertama pada berkas teks sama dengan contoh di atas.

Answer: 74db120f0a8e5646ef5a30154e9f6deb

Soal 103

Misalkan S(A) adalah melambangkan penjumlahan dari elemen-elemen dalam himpunan A dengan banyak anggota n. Himpunan A akan disebut memiliki penjumlahan istimewa apabila dua himpunan bagiannya yang tidak kosong dan saling lepas, B dan C, memenuhi sifat-sifat berikut:

1. S(B) ≠ S(C); sehingga, hasil penjumlahan dari semua himpunan bagian tidak boleh sama.
2. Jika B memiliki anggota yang lebih banyak dari C, maka S(B) > S(C).

Jika S(A) bisa diminimumkan untuk suatu nilai n, maka kita akan menyebut bahwa himpunan tersebut memiliki penjumlahan istimewa optimal. Lima penjumlahan istimewa optimal pertama adalah sebagai berikut.

n = 1: {1}
n = 2: {1, 2}
n = 3: {2, 3, 4}
n = 4: {3, 5, 6, 7}
n = 5: {6, 9, 11, 12, 13}

Dapat terlihat bahwa untuk suatu himpunan optimal, A = {a₁, a₂, ... , a_n}, himpunan optimal selanjutnya adalah B = {b, a₁+b, a₂+b, ... ,a_n+b}, di mana b adalah anggota "tengah" dari baris sebelumnya.

Dengan menerapkan "aturan" ini, kita bisa menduga bahwa himpunan optimum selanjutnya untuk n = 6 akan menjadi A = {11, 17, 20, 22, 23, 24}, dengan S(A) = 117. Tetapi, ternyata himpunan ini bukanlah yang paling optimal, karena kita hanya menggunakan algoritma yang membuat himpunan mendekati optimal. Himpunan optimal untuk n = 6 adalah A = {11, 18, 19, 20, 22, 25}, dengan S(A) = 115 dan untai himpunan yang terkait adalah: 111819202225.

Misalnya A adalah himpunan istimewa optimal untuk n = 7, maka carilah untai himpunannya.

CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 105 dan Soal 106.

Answer: af8c238336c2a79bb81a24b3fef3330d

Soal 104

Barisan Fibonacci bisa didapat dari hubungan berikut:

F_n = F_n−1 + F_n−2, di mana F₁ = 1 dan F₂ = 1.

Ditemukan bahwa F₅₄₁, yang memiliki 113 digit, adalah bilangan Fibonacci pertama yang sembilan digit terakhirnya adalah pandigital 1-9 (mengandung semua angka dari 1 sampai 9, namun tidak harus berurutan). Dan F₂₇₄₉, yang memiliki 575 digit, adalah bilangan Fibonacci pertama yang sembilan digit pertamanya adalah pandigital 1-9.

Diketahui F_k adalah bilangan Fibonacci pertama yang sembilan digit pertama DAN sembilan digit terakhirnya adalah pandigital 1-9, carilah nilai k.

Answer: c8771ddd4df191098d70a8e94dd1cde7

Soal 105

Misalkan S(A) melambangkan hasil penjumlahan dari elemen-elemen dalam himpunan A dengan banyak anggota n. Himpunan A akan disebut memiliki penjumlahan istimewa apabila dua himpunan bagiannya yang tidak kosong dan saling lepas, B dan C, memenuhi sifat-sifat berikut:

1. S(B) ≠ S(C); sehingga, hasil penjumlahan dari semua himpunan bagian tidak boleh sama.
2. Jika B memiliki anggota yang lebih banyak dari C, maka S(B) > S(C).

Sebagai contoh, {81, 88, 75, 42, 87, 84, 86, 65} bukanlah himpunan yang memiliki penjumlahan istimewa, sebab dapat ditemukan 65 + 87 + 88 = 75 + 81 + 84, contoh lain {157, 150, 164, 119, 79, 159, 161, 139, 158} memenuhi kedua sifat di atas untuk semua kombinasi himpunan bagian yang mungkin, dan S(A) = 1286.

Menggunakan [sets.txt](/projecteuler/files/sets.txt) (klik kanan dan pilih "Save Link/Target As..."), sebuah berkas teks berukuran 4K yang berisi seratus himpunan yang memiliki tujuh sampai dua belas anggota (dua contoh di atas adalah dua himpunan pertama dalam berkas tersebut), carilah semua himpunan yang memiliki penjumlahan istimewa, A₁, A₂, ..., A_k, dan carilah nilai dari S(A₁) + S(A₂) + ... + S(A_k).

CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 103 dan Soal 106.

Answer: c87d30e494eff438fe37b4c810167da0

Soal 106

Misalkan S(A) adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen dalam himpunan A dengan banyak anggota n. Himpunan A akan disebut memiliki penjumlahan istimewa apabila dua himpunan bagiannya yang tidak kosong dan saling lepas, B dan C, memenuhi sifat-sifat berikut:

1. S(B) ≠ S(C); sehingga, hasil penjumlahan dari semua himpunan bagian tidak boleh sama.
2. Jika B memiliki anggota yang lebih banyak dari C, maka S(B) > S(C).

Untuk soal ini, kita akan asumsikan bahwa himpunan dengan n anggota berisi bilangan yang terus membesar, dan pasti memenuhi sifat kedua.

Mengejutkan bahwa dari 25 pasangan himpunan bagian yang ada, yang bisa didapat dari himpunan dengan n = 4, hanya 1 dari pasangan tersebut yang perlu diuji untuk sifat pertama. Sementara itu, saat n = 7, hanya 70 dari 966 himpunan bagian yang ada yang perlu diuji.

Untuk n = 12, berapa banyak pasangan yang perlu diuji dengan sifat pertama, dari 261625 pasangan himpunan bagian yang ada?

NOTE: Soal ini berhubungan dengan Soal 103 dan Soal 105.

Answer: c8fd9e36fdeb06bcc93a0732c667b6d8

Soal 107

Jaringan takberarah berikut ini memiliki dari tujuh verteks (titik) dan dua belas rusuk with a total bobot 243.

Jaringan di atas dapat dilambangkan pula sebagai matriks berikut ini.

Kita dapat menyederhanakan jaringan tersebut dengan membuang beberapa rusuk, dan semua verteks masih tetap terhubung. Jaringan yang paling sederhana ditunjukkan pada gambar di bawah. Jaringan ini memiliki bobot 93, dan dapat menghemat 243 − 93 = 150 bobot, dari jaringan mula-mula.

Menggunakan [network.txt](/projecteuler/files/network.txt) (klik kanan dan pilih 'Save Link/Target As...'), sebuah berkas berukuran 6K berisi sebuah jaringan dengan empat puluh verteks, dan diberikan dalam bentuk matriks, carilah jumlah penghematan maksimum yang dapat dilakukan, dengan membuang beberapa ruas namun dengan memastikan bahwa semua verteks tetap terhubung.

Answer: b0db1202ec966e7855ca23626eb285b8

Soal 108

Dalam persamaan berikut x, y, dan n adalah bilangan bulat positif.

						   1   1   1
						   ─ + ─ = ─
						   x   y   n

Untuk n = 4 terdapat persis empat solusi berbeda:

						   1   1    1
						   ─ + ─  = ─
						   5   20   4
						   1   1    1
						   ─ + ─  = ─
						   6   12   4
						   1   1    1
						   ─ + ─  = ─
						   8   8    4

Berapakah nilai terkecil n sehingga terdapat solusi berbeda yang banyaknya melebihi seribu buah?

CATATAN: Soal ini adalah versi lebih mudah dari Soal 110; dan sangat disarankan Anda menyelesaikan soal ini terlebih dahulu.

Answer: 765ba18edd2844db2db95fba25d2f3e7

Soal 109

Dalam permainan darts, seorang pemain akan melempar tiga batang dart (panah kecil) ke papan target yang dibagi menjadi dua puluh bagian yan g sama besar, diberi angka dari satu sampai dua puluh.

Nilai dari sebatang dart ditentukan dari angka yang dimiliki oleh daerah tempat dart tersebut mendarat. Jika dart mendarat di luar lingkaran merah/hijau, maka pemain akan mendapat nilai nol. Daerah berwarna hitam dan krim dalam lingkaran akan mengalikan nilai dengan satu. Tetapi, garis merah/hijau pada bagian luar dan bagian tengah lingkaran akan melipatgandakan nilai, masing-masing menjadi dua kali (double) dan tiga kali (treble).

Pada tengah-tengah papan, terdapat dua lingkaran sepusat yang disebut bull region, atau bulls-eye. Bagian luar bull bernilai 25 poin, dan bagian dalam bull adalah double bull dan bernilai dua kali lipatnya, yaitu 50 poin.

Terdapat berbagai variasi dari aturan yang ada, namun aturan yang paling sering digunakan adalah para pemain akan mulai dengan skor 301 atau 501, dan pemain pertama yang bisa mengurangi skornya sampai nol adalah pemenangnya. Tetapi, setiap pemain harus memperhatikan sistem "doubles out", di mana setiap pemain harus mendaratkan dart terakhir mereka di mana saja yang memiliki nilai double(termasuk double bulls-eye berwarna merah di tengah papan) untuk menang; setiap tiga dart yang membuat nilai total pemain menjadi satu atau kurang dari satu, akan mengakibatkan skor ketiga dart tersebut diabaikan ("bust").

Saat seorang pemain dapat menyelesaikan permainannya, hal itu disebut "checkout" dan skor checkout tertinggi yang bisa didapat adalah 170: T20 T20 D25 (dua treble 20s dan double bull).

Terdapat sebelas cara berbeda untuk melakukan checkout pada nilai 6:

D3
D1	D2
S2	D2
D2	D1
S4	D1
S1	S1	D2
S1	T1	D1
S1	S3	D1
D1	D1	D1
D1	S2	D1
S2	S2	D1

Perhatikan bahwa D1 D2 dianggap berbeda dengan D2 D1, karena mereka selesai di double yang berbeda. Tetapi, kombinasi S1 T1 D1 dianggap sama dengan T1 S1 D1.

Sebagai tambahan, kita tidak akan mengikut sertakan dart yang meleset dalam kombinasi; sebagai contoh, D3 adalah sama dengan 0 D3 dan 0 0 D3.

Luar biasanya, ternyata terdapat 42336 cara berbeda untuk melakukan checkout.

Berapa banyak cara pemain dapat melakukan checkout pada nilai kurang dari 100?

Answer: e6aebd5be1ba81557dbcc5f6f57bbe5c

Soal 110

Dalam persamaan berikut x, y, dan n adalah bilangan bulat positif.

						   1   1   1
						   ─ + ─ = ─
						   x   y   n

Dapat dibuktikan bahwa saat n = 1260 terdapat 113 buah solusi berbeda, dan ini adalah merupakan nilai n terkecil yang akan menghasilkan solusi berbeda sebanyak lebih dari seratus buah.

Berapakah nilai terkecil n sehingga terdapat solusi berbeda yang banyaknya melebihi empat juta?

CATATAN: Soal ini adalah versi yang lebih sulit dari Soal 108 dan tidak memungkinkan untuk diselesaikan dengan cara mencoba satu persatu, perlu cara yang cerdas untuk menyelesaikan soal ini.

Answer: 591a7a92f10322866e6a02f3b2386a1c

Soal 111

Apabila suatu bilangan prima 4-digit memiliki digit yang berulang, jelas bahwa tidak mungkin keempat digit tersebut semuanya sama: 1111 habis dibagi 11, 2222 habis dibagi 22, dan seterusnya. Namun terdapat sembilan buah bilangan prima 4-digit yang memiliki tiga buah digit satu:

1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111

Kita akan menyatakan bahwa M(n, d) melambangkan banyak maksimal dari digit yang berulang untuk bilangan prima digit-n, di mana d adalah digit yang akan berulang, N(n, d) melambangkan banyaknya bilangan prima tersebut, dan S(n, d) melambangkan jumlah dari bilangan-bilangan prima tersebut.

Sehingga M(4, 1) = 3 adalah jumlah maksimal digit yang boleh berulang, untuk bilangan prima 4 digit, di mana digit berulangnya adalah satu, terdapat N(4, 1) = 9 buah bilangan prima yang memenuhi sifat sebelumnya, dan jumlah dari bilangan-bilangan prima tersebut adalah S(4, 1) = 22275. Lalu untuk d = 0, digit tersebut hanya memungkinkan diulang M(4, 0) = 2 kali, namun terdapat N(4, 0) = 13 buah bilangan prima pada kasus tersebut.

Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan hasil berikut untuk bilangan prima 4-digit.

Untuk d = 0 sampai 9, jumlah semua bilangan primanya S(4, d) adalah 273700.

Carilah jumlah dari semua S(10, d).

Answer: cdf4d134a3b0caa10a69e2771ac4fd36

Soal 112

Dimulai dari kiri ke kanan, apabila digit dalam suatu bilangan lebih besar daripada digit di sebelah kirinya, maka bilangan itu akan disebut sebagai bilangan bertambah; sebagai contoh, 134468.

Dengan cara yang sama, apabila digit dalam suatu bilangan tidak lebih besar dari digit di sebelah kanannya, maka bilangan itu akan disebut bilangan berkurang; sebagai contoh, 66420.

Kita akan menyebut bilangan positif yang bukan merupakan bilangan bertambah atau juga bilangan berkurang sebagai bilangan “bouncy”; sebagai contoh, 155349.

Jelas bahwa tidak mungkin ada bilangan bouncy yang lebih kecil dari seratus. Namun hampir separuh dari bilangan di bawah seribu adalah bilangan bouncy (525 buah). Pada kenyataannya, pada bilangan 538 untuk pertama kalinya persentase bilangan “bouncy” di bawahnya menjadi 50%.

Cukup mengejutkan bahwa bilangan bouncy menjadi semakin sering ditemui saat kita sampai ke bilangan 21780. Pada titik tersebut, persentase banyaknya bilangan bouncy di bawahnya adalah 90%.

Carilah pada bilangan berapa, proporsi bilangan bouncy di bawahnya akan menjadi 99%?

Answer: e08c982713a1c2bd3637dd489199722e

Soal 113

Dimulai dari kiri ke kanan, apabila digit dalam suatu bilangan lebih besar daripada digit di sebelah kirinya, maka bilangan itu akan disebut sebagai bilangan bertambah; sebagai contoh, 134468.

Dengan cara yang sama, apabila digit dalam suatu bilangan tidak lebih besar dari digit di sebelah kanannya, maka bilangan itu akan disebut bilangan berkurang; sebagai contoh, 66420.

Kita akan menyebut bilangan positif yang bukan merupakan bilangan bertambah atau juga bilangan berkurang sebagai bilangan "bouncy" sebagai contoh, 155349.

Saat nilai n semakin meningkat, banyaknya bilangan bouncy yang lebih kecil dari n juga akan semakin meningkat, sebagai contoh, hanya ada 12951 buah bilangan yang lebih kecil dari satu juta yang bukan merupakan bilangan bouncy, dan hanya terdapat 277032 buah bilangan yang lebih kecil dari 10¹⁰ yang bukan merupakan bilangan bouncy.

Berapakah banyaknya bilangan yang lebih kecil dari 10¹⁰⁰ yang bukan merupakan bilangan bouncy?

Answer: a9e504ee704c87f9bddad6d3ffe39532

Soal 114

Suatu barisan kotak dengan panjang tujuh satuan, yang memiliki kotak merah yang panjang minimalnya tiga satuan. Jika terdapat dua bagian ko tak berwarna merah (dimana kedua kotak merah boleh memiliki panjang berbeda), kedua bagian tersebut harus dipisahkan oleh setidaknya satu kotak hitam. Terdapat persis tujuh belas kombinasi dari masalah ini.

Berapa banyak cara mengisi kotak merah pada sebuah barisan kotak dengan panjang lima puluh satuan dengan aturan di atas?

CATATAN: Belum terlihat pada contoh di atas, bahwa Anda diperbolehkan untuk menggunakan dua bagian kotak merah berbeda ukuran. Sebagai contoh, pada blok kotak berukuran delapan satuan panjang, anda dapat menggunakan susunan merah (3), hitam (1), dan merah (4).

Answer: de48ca72bf252a8be7e0aad762eadcf8

Soal 115

CATATAN: Ini adalah versi yang lebih menantang dari Soal 114.

Sebuah barisan kotak berukuran n satuan panjang berisi kotak merah dengan panjang minimal m satuan, dan barisan tersebut boleh memiliki dua bagian kotak merah yang wajib dipisahkan oleh setidaknya satu kotak hitam (kedua bagian kotak merah boleh memiliki panjang berbeda).

Misalkan terdapat fungsi F(m, n), yang merupakan banyaknya cara barisan kotak berukuran n tersebut dapat diisi.

Sebagai contoh, F(3, 29) = 673135 dan F(3, 30) = 1089155.

Dari fungsi di atas terlihat, bahwa saat m = 3, nilai n = 30 adalah nilai n terkecil yang akan membuat banyaknya cara menyusun kotak merah melebihi satu juta cara.

Denagn cara yang sama, untuk m = 10, dapat dibuktikan bahwa F(10, 56) = 880711 dan F(10, 57) = 1148904, sehingga n = 57 adalah nilai n terkecil yang akan membuat banyaknya cara menyusun kotak merah melebihi satu juta cara.

Untuk m = 50, carilah nilai n terkecil, sehingga ada lebih dari satu juta cara untuk menyusun kotak merah.

Answer: 006f52e9102a8d3be2fe5614f42ba989

Soal 116

Kita akan mengganti tegel pada barisan berisi lima tegel hitam dengan tegel lain yang berbeda warna, yaitu merah (panjang dua satuan), hijau (panjang tiga satuan), atau biru (panjang empat satuan).

Jika tegel merah dipilih untuk mengisi barisan di atas, maka terdapat persis tujuh cara yang ada.

				 ┌─╥╥╥┐  ┌╥─╥╥┐  ┌╥╥─╥┐  ┌╥╥╥─┐
				 └─╨╨╨┘  └╨─╨╨┘  └╨╨─╨┘  └╨╨╨─┘

				 ┌─╥─╥┐  ┌─╥╥─┐  ┌╥─╥─┐   
				 └─╨─╨┘  └─╨╨─┘  └╨─╨─┘

Jika kotak hijau yang dipilih, terdapat tiga cara untuk mengisi kotak hitam.

				   ┌──╥╥┐  ┌╥──╥┐  ┌╥╥──┐   
				   └──╨╨┘  └╨──╨┘  └╨╨──┘

Dan jika kotak biru yang dipilih, terdapat dua cara untuk mengisi kotak hitam.

						 ┌╥───┐  ┌───╥┐
						 └╨───┘  └───╨┘

Jika warna-warna yang ada tidak boleh dicampur, maka akan terdapat 7 + 3 + 2 = 12 cara untuk mengganti tegel hitam yang memiliki panjang lima satuan.

Berapakah banyaknya cara tegel hitam dengan panjang lima puluh satuan dapat diganti dengan cara seperti di atas, dan kita hanya diperbolehkan menggantinya dengan satu warna?

CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 117.

Answer: c21ca0ec54e6d1646a953a480f68feb4

Soal 117

Dengan menggunakan kombinasi dari: kotak merah dengan panjang dua satuan, kotak hijau dengan panjang tiga satuan, dan kotak biru dengan panjang empat satuan, kita dapat mengisi kotak hitam dengan panjang lima satuan dengan berbagai cara.

Berapa banyak cara kotak hitam dengan panjang lima puluh satuan dapat di isi?

CATATAN: Soal ini berhubungan dengan Soal 116.

Answer: 542612809b3dd08cf518b85450fce8d6

Soal 118

Dengan menggunakan akanga 1 sampai 9, dan menyatukan mereka secara acak untuk membentuk suatu bilangan bulat, berbagai himpunan dapat dibentuk. Menariknya, himpunan {2,5,47,89,631}, memiliki anggota-anggota yang semuanya adalah bilangan prima.

Berapakah banyaknya himpunan berbeda, yang anggota-anggotanya dibentuk menggunakan angka 1 sampai 9 persis satu kali, yang semua anggotanya adalah bilangan prima?

Answer: 080cc5a4ec71a747e260e274bdb13b64

Soal 119

Bilangan 512 adalah bilangna yang menarik, karena bilangan ini dapat dibentuk dengan cara menjumlahkan angka-angkanya, lalu memangkatkan hasil penjumlahan tersebut dengan angka tertentu: 5 + 1 + 2 = 8, dan 8³ = 512. Contoh bilangan lain yang memiliki sifat seperti ini adalah 614656 = 28⁴.

Kita akan menetapkan a_n sebagai suku ke n dari barisan bilangan seperti di atas, dan bilangan di atas harus memiliki setidaknya dua angka agar dapat dilakukan penjumlahan.

Diberikah a₂ = 512 dan a₁₀ = 614656.

Carilah a₃₀.

Answer: 72fddfa6c52a120892ade628f3819da4

Soal 120

Misalkan r adalah sisa bagi saat (a−1)ⁿ + (a+1)ⁿ dibagi oleh a².

Sebagai contoh, jika a = 7 dan n = 3, maka r = 42: 6³ + 8³ = 728 ≡ 42 mod 49. Dan karena ada bermacam nilai n, maka bermacam juga nilai r yang akan dihasilkan, tetapi untuk a = 7 kita dapat menemukan bahwa r_max = 42.

Untuk 3 ≤ a ≤ 1000, carilah ∑ r_max.

Answer: 0dd05ec40fe11279c2203b72e92a450a

Soal 121

Terdapat sebuah kantong berisi satu disk merah dan satu disk biru. Dalam suatu permainan, seorang pemain akan mengambil sebuah disk secara acak, dan warna disk yang diambil tersebut akan dicatat. Setelah satu putaran, disk akan dikembalikan ke kantong, kemudian ditambahkan satu buah disk merah, dan kembali diambil satu disk secara acak.

Pemain diharuskan membayar £1 untuk bermain, dan ia akan menang apabila ia dapat mengambil disk biru lebih banyak dibanding disk merah saat akhir permainan.

Jika permainan akan berakhir setelah empat putaran, peluang seorang pemain menang adalah 11/120, sehingga jumlah hadiah terbesar harus disediakan oleh bank dalam permainan ini adalah £10 sebelum pemain tersebut akan mengalami kekalahan. Perlu diingat bahwa segala bentuk pembayaran hadiah akan berupa bilangan bulat, dan pada pembayaran akan disertakan juga £1 yang digunakan pertama kali untuk ikut bermain, sehingga pada contoh ini, pemain sesungguhnya hanya memenangkan £9.

Carilah jumlah hadiah terbesar yang harus disediakan oleh bank, pada permainan serupa, namun dengan lima belas putaran.

Answer: 51de85ddd068f0bc787691d356176df9

Soal 122

Cara paling dasar untuk menghitung n¹⁵ membutuhkan empat belas kali perkalian:

n × n × ... × n = n¹⁵

Tapi dengan menggunakan metode "binary" kita dapat menghitung hal yang sama dengan enam kali perkalian:

n × n = n²
n² × n² = n⁴
n⁴ × n⁴ = n⁸
n⁸ × n⁴ = n¹²
n¹² × n² = n¹⁴
n¹⁴ × n = n¹⁵

Bahkan, memungkinkan untuk menghitung hal yang sama hanya dengan lima kali perkalian:

n × n = n²
n² × n = n³
n³ × n³ = n⁶
n⁶ × n⁶ = n¹²
n¹² × n³ = n¹⁵

Kita akan menyatakan m(k) adalah jumlah perkalian minimal yang dapat digunakan untuk menghitung n^k; sebagai contoh m(15) = 5.

Untuk 1 ≤ k ≤ 200, carilah ∑ m(k).

Answer: b710915795b9e9c02cf10d6d2bdb688c

Soal 123

Misalkan p_n adalah bilangan prima ke-n: 2, 3, 5, 7, 11, ..., dan misalkan r adalah sisa pembagian dari (p_n−1)ⁿ + (p_n+1)ⁿ dibagi oleh p_n².

Sebagai contoh, saat n = 3, p₃ = 5, dan 4³ + 6³ = 280 ≡ 5 mod 25.

Nilai n terkecil yang akan menghasilkan sisa bagi melebihi 10⁹ adalah 7037.

Carilah nilai n terkecil yang akan menghasilkan sisa bagi melebihi 10¹⁰.

Answer: 71497f728b86b55d965edbf1849cca8d

Soal 124

Radikal dari n, rad(n), adalah hasil kali dari faktor prima berbeda yang dimiliki oleh n. Sebagai contoh, 504 = 2³ × 3² × 7, sehingga rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42.

Jika kita menghitung rad(n) untuk 1 ≤ n ≤ 10, lalu mengurutkan bedasarkan rad(n), dan mengurutkan bedasarkan n jika hasil radikalnya sama, maka kita akan mendapatkan:

Unsorted			Sorted
n	rad(n)		n	rad(n)	k
1	1		1	1	1
2	2		2	2	2
3	3		4	2	3
4	2		8	2	4
5	5		3	3	5
6	6		9	3	6
7	7		5	5	7
8	2		6	6	8
9	3		7	7	9
10	10		10	10	10

Misalkan E(k) adalah elemen ke-k pada kolom n yang telah terurut sesuai aturan di atas; sebagai contoh, E(4) = 8 dan E(6) = 9.

Jika rad(n) dihitung dari 1 ≤ n ≤ 100000, sesuai dengan cara di atas, carilah E(10000).

Answer: f228d2e6f9099153388e9470180c8302

Soal 125

Bilangan palindrom 595 memiliki hal yang menarik, karena bilangan ini dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan: 6² + 7² + 8² + 9² + 10² + 11² + 12².

Terdapat persis sebelas bilangan palindrom di bawah seratus yang juga dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan, dan jumlah dari semua bilangan palindrom tersebut adalah 4164. Perlu diingat bahwa 1 = 0² + 1² tidak diikutsertakan dalam perhitungan ini, karena yang diikut sertakan hanya bilangan yang dapat dibuat dari penjumlahan bilangan kuadrat positif saja.

Carilah jumlah semua bilangan palindrom kurang dari 10⁸, yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan bilangan kuadrat berurutan.

Answer: 1b5635e8ab723e01570ca783129493dd

Soal 126

Jumlah kubus paling sedikit yang diperlukan untuk menutupi permukaan balok dengan ukuran 3 x 2 x 1 adalah dua puluh dua buah.

Jika kita akan menambahkan lapisan kedua, maka kita akan memerulukan empat puluh enam kubus, untuk menutupi semua permukaan, dan lapisan ketiga akan memerlukan tujuh puluh delapan kubus, lalu lapisan ke empat akan memerlukan seratus dan delapan belas kubus untuk menutupi semua permukaan.

Dan, lapisan pertama untuk menutupi balok dengan ukuran 5 x 1 x 1 juga memerlukan dua puluh dua kubus; sedangkan untuk balok berukuran 5 x 3 x 1, 7 x 2 x 1, dan 11 x 1 x 1 semua memerlukan empat puluh enam buah kubus.

Kita akan menyatakan C(n) untuk melambangkan banyaknya balok yang dapat ditutupi dengan n buah kubus pada salah satu lapisannya. Sehingga C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5, dan C(118) = 8.

Dapat ditemukan bahwa 154 adalah nilai n terkecil dimana C(n) = 10.

Carilah nilai n terkecil yang akan menghasilkan C(n) = 1000.

Answer: 387d6ae83cbc6fa0b9192b56bf095c49

Soal 127

Nilai radikal dari n, rad(n), adalah hasil perkalian faktor prima berbeda dari n. Sebagai contoh, 504 = 2³ × 3² × 7, sehingga rad(504) = 2 × 3 × 7 = 42.

Kita akan mendefinisikan tiga bilangan bulat positif (a, b, c) sebagai abc-hit jika:

1. FPB(a, b) = FPB(a, c) = FPB(b, c) = 1
2. a < b
3. a + b = c
4. rad(abc) < c

Sebagai contoh, (5, 27, 32) adalah sebuah abc-hit, karena:

1. GCD(5, 27) = GCD(5, 32) = GCD(27, 32) = 1
2. 5 < 27
3. 5 + 27 = 32
4. rad(4320) = 30 < 32

Dapat terlihat bahwa abc-hits akan cukup jarang untuk ditemui, hanya terdapat tiga puluh satu buah abc-hits untuk c < 1000, dengan cumlah ∑c = 12523.

Carilah ∑c untuk c < 120000.

Answer: c6b1ae935b33c90a2c320b5f6ef3e4ba

Soal 128

Sebuah ubin segienam dengan angka 1 dikelilingi oleh enam buah ubin segienam lainnya, dimulai dari arah "pukul 12" dan ubin di beri nomor 2 sampai 7 secara berlawanan arah jarum jam.

Lapisan baru ditambahkan dengan cara yang sama, dengan lapisan selanjutnya diberi nomor dari 8 sampai 19, 20 sampai 37, 38 sampai 61, dan seterusnya. Diagram berikut ini menunjukkan tiga lapisan pertama.

Dengan mencari selisih antara ubin n dengan ke enam buah ubin di sebelahnya, kita akan mendefinisikan PD(n) sebagai banyaknya selisih ubin-ubin tersebut yang merupakan bilangan prima.

Sebagai contoh, jika dihitung searah jarum jam, pada ubin 8, maka didapat selisih 12, 29, 11, 6, 1, dan 13. Sehingga PD(8) = 3.

Dengan cara yang sama, selisih di sekitar ubin 17 adalah 1, 17, 16, 1, 11, dan 10, sehingga PD(17) = 2.

Dapat ditunjukkan bahwa nilai PD(n) terbesar adalah 3.

Jika semua ubin yang memiliki nilai PD(n) = 3 didaftarkan secara berurutan dari kecil ke besar, dan dibentuk suatu barisan bilangan, maka ubin pada urutan ke-10 adalah 271.

Carilah suku ubin ke-2000 pada barisan ini.

Answer: 93a1925da4792b4fa5d2dbb6ebb7c4a2

Soal 129

Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R(k) sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R(6) = 111111.

Diberikan bahwa n adalah bilangan bulat positif, dan FPB(n, 10) = 1, dapat ditunjukkan bahwa selalu ada nilai k, dimana R(k) habis dibagi oleh n, dan A(n) adalah nilai k tersebut yang terkecil; sebagai contoh, A(7) = 6 dan A(41) = 5.

Nilai n terkecil yang akan membuat A(n) melebihi sepuluh adalah 17.

Carilah nilai n terkecil yang akan membuat A(n) melebihi satu juta.

Answer: 82cd979a2b79600137aea54fa0bd944b

Soal 130

Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R(k) sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R(6) = 111111.

Diberikan bahwa n adalah bilangan bulat positif, dan FPB(n, 10) = 1, dapat ditunjukkan bahwa selalu ada nilai k, dimana R(k) habis dibagi oleh n, dan A(n) adalah nilai k tersebut yang terkecil; sebagai contoh, A(7) = 6 dan A(41) = 5.

Diketahui bahwa untuk semua bilangan prima, p > 5, p − 1 pasti habis dibagi A(p). Sebagai contoh, saat p = 41, A(41) = 5, dan 40 adalah habis dibagi 5.

Tetapi, ternyata terdapat bilangan komposit langka, yang juga memenuhi sifat di atas; lima contoh pertama adalah 91, 259, 451, 481, dan 703.

Carilah jumlah dari dua puluh lima buah bilangan komposit n pertama, dimana
FPB(n, 10) = 1 dan n − 1 habis dibagi A(n).

Answer: 20594ea0ef7a2f4cf40d19a9b82a0beb

Soal 131

TErdapat beberapa bilangan prima p, yang jika berpasangan sebuah bilangan bulat positif n, dengan bentuk n³ + n²p akan menghasilkan bilangan kubik sempurna.

Sebagai contoh, saat p = 19, 8³ + 8²×19 = 12³.

Luar biasanya, untuk setiap bilangan prima dengan sifat ini, terdapat nilai n yang berbeda, dan hanya terdapat empat buah bilangan prima dengan sifat ini yang kurang dari seratus.

Berapa banyak bilangan prima kurang dari satu juta yang memiliki sifat istimewa ini?

Answer: f7e6c85504ce6e82442c770f7c8606f0

Soal 132

Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R(k) sebagai repunit dengan panjang k.

Sebagai contoh, R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091, dan jumlah dari semua faktor primanya adalah 9414.

Carilah jumlah dari empat puluh faktor prima pertama dari R(10⁹).

Answer: 5df3a36faa173a393a04a022b2d5d49d

Soal 133

Sebuah bilangan yang hanya berisi angka satu disebut repunit. Kita akan mendefinisikan R(k) sebagai repunit dengan panjang k; sebagai contoh, R(6) = 111111.

Misalkan terdapat repunit dengan bentuk R(10ⁿ).

Walaupun R(10), R(100), atau R(1000) tidak habis dibagi oleh 17, tetapi R(10000) habis dibagi oleh 17. Namun tidak ada nilai n dimana R(10ⁿ) akan habis dibagi 19. Pada kenyataannya, hanya terdapat empat buah bilangan prima kurang dari seratus 11, 17, 41, dan 73 yang dapat membagi habis R(10ⁿ).

Carilah jumlah semua bilangan prima kurang dari seratus ribu, yang tidak akan pernah dapat membagi habis bilangan R(10ⁿ).

Answer: c1d33d79d08cde65eaa78e4583ea0594

Soal 134

Misalkan terdapat bilangan prima berurutan p₁ = 19 dan p₂ = 23. Dapat dibuktikan bahwa 1219 adalah bilangan terkecil yang angka terakhirnya dibentuk dari p₁, dan juga habis dibagi oleh p₂.

Bahkan, dengan mengecualikan p₁ = 3 dan p₂ = 5, untuk semua pasangan bilangan prima p₂ > p₁, akan selalu ada sebuah bilangan n yang angka terakhirnya dibentuk darip₁ dan n juga habis dibagi oleh p₂. Misalkan S adalah nilai n terkecil.

Carilah ∑ S untuk semua pasangan bilangan prima dengan ketentuan 5 ≤ p₁ ≤ 1000000.

Answer: f12b07460d2586ea47b4d305ae0b0539

Soal 135

Diberikan bilangan bulat positif, x, y, dan z, yang membentuk suatu barisan aritmatika, bilangan bulat positif terkecil n, untuk persamaan x² − y² − z² = n, yang mempunyai persis dua solusi adalah n = 27:

34² − 27² − 20² = 12² − 9² − 6² = 27

Dapat ditemukan bahwa n = 1155 adalah nilai n terkecil yang memiliki persis sepuluh solusi.

Berapakah nilai n kurang dari satu juta yang memiliki persis sepuluh solusi berbeda?

Answer: c457d7ae48d08a6b84bc0b1b9bd7d474

Soal 136

Bilangan bulat positif, x, y, dan z, akan membentuk sebuah barisan aritmatika. Diberikan n adalah sebuah bilangan bulat positif, persamaan x² − y² − z² = n, akan mempunyai persis satu solusi saat n = 20:

13² − 10² − 7² = 20

Nyatanya, terdapat dua puluh lima buah nilai n kurang dari seratus, yang akan menghasilkan solusi unik pada persamaan di atas.

Berapa banyak nilai n kurang dari lima puluh juta yang mempunyai persis satu solusi?

Answer: 91db9e8e6cb2dbf9c07a6e0429697336

Soal 137

Misalkan terdapat suku banyak tak hingga A_F(x) = xF₁ + x²F₂ + x³F₃ + ..., dimana F_k adalah suku ke-kdari barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... ; yang dibentuk dengan, F_k = F_k−1 + F_k−2, F₁ = 1 dan F₂ = 1.

Untuk soal ini, kita hanya akan memperhatikan nilai dari x, yang memiliki nilai A_F(x) berupa bilangan bulat positif.

Nilai dari x yang akan menghasilkan lima bilangan asli pertama adalah sebagai berikut.

Kita akan menyebut A_F(x) sebagai sebuah bongkah emas, apabila x merupakan bilangan rasional, karena semakin lama, bilangan ini akan semakin sulit ditemui; sebagai contoh, bilangan bongkah emas ke-10 adalah 74049690.

Carilah bilangan bongkah emas ke-15.

Answer: 44845aa0f47ec925a3b43e6460a55e27

Soal 138

Terdapat sebuah segitiga sama kaki dengan panjang alas b = 16, dan panjang kaki L = 17.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, dapat terlihat bahwa tinggi segitiga tersebut adalahh = √(17² − 8²) = 15, dimana hanya berseleisih satu satuan dari alasnya.

Dengan b = 272 dan L = 305, kita bisa mendapatkan h = 273, dimana hanya berselisih satu satuan dari alasnya, dan ini adalah segitiga terkecil kedua yang memiliki sifat h = b ± 1.

Carilah ∑ L untuk dua belas segitiga sama kaki terkecil pertama, dimana h = b ± 1 dan b, L adalah bilangan bulat positif.

Answer: f7524f4d0d6d042c0f92a0d6469aff85

Soal 139

Misalkan (a, b, c) adalah ketiga sisi dari sebuah segitiga siku-siku, dengan panjang sisi yang diurutkan dari kecil ke besar. Kita dapat mengumpulkan empat buah segitiga tersebut bersama-sama untuk membentuk suatu persegi dengan panjang sisi c.

Sebagai contoh, segitiga (3, 4, 5) dapat diletakkan bersama-sama untuk membentuk persegi dengan ukuran 5 x 5, dengan sebuah lubang persegi berukuran 1 x 1 di tengahnya. Dan dapat terlihat bahwa persegi berukuran 5 x 5 tersebut dapat ditutup oleh dua puluh lima ubin persegi berukuran 1 x 1.

Tetapi, jika segitiga (5, 12, 13) digunakan, maka akan terdapat lubang berukuran 7 x 7, dan segitiga tersebut tidak bisa digunakan untuk membuat persegi dengan ukuran 13 x 13.

Diketahui keliling dari suatu segitiga siku-siku adalah kurang dari satu juta satuan panjang, berapa banyak segitiga siku-siku yang dapat digunakan untuk membentuk persegi besar seperti contoh di atas?

Answer: 1c343ba00e6d17d7239bf45869ffed0c

Soal 140

Misalkan terdapat suku banyak tak hingga A_G(x) = xG₁ + x²G₂ + x³G₃ + ..., dimana G_k adalah suku ke-k dari suatu barisan yang dibentuk dengan G_k = G_k−1 + G_k−2, G₁ = 1 dan G₂ = 4; barisan tersebut adalah, 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... .

Untuk soal ini, kita hanya akan memperhatikan nilai dari x, yang memiliki nilai A_F(x) berupa bilangan bulat positif.

Nilai dari x yang akan menghasilkan lima bilangan asli pertama adalah sebagai berikut.

Kita akan menyebut A_F(x) sebagai sebuah bongkah emas, apabila x merupakan bilangan rasional, karena semakin lama, bilangan ini akan semakin sulit ditemui; sebagai contoh, bilangan bongkah emas ke-20 adalah 211345365.

Carilah jumlah dari semua tiga puluh bilangan bongkah emas pertama.

Answer: e5d75f96929ba250b2732aad52f3028c

Soal 141

Sebuah bilangan bulat positif n, dibagi oleh d dan menghasilkan hasil bagi (quotient) dan sisa (remainder) masing-masing q dan r. Lalu d, q, dan r adalah bilangan bulat positif yang dapat membentuk barisan geometri, namun tidak harus dengan urutan demikian.

Sebagai contoh, 58 dibagi oleh 6 memiliki hasil 9 dan sisa 4. dapat terlihat bahwa 4, 6, 9 adalah suku berurutan dalam suatu barisan geometri (dengan rasio 3/2).
Kita akan menyebut bilangan n tersebut sebagai bilangan progresif.

Beberapa bilangan progresif, seperti 9 dan 10404 = 102², terkadang juga merupakan bilangan kuadrat.
Jumlah dari semua bilangan progresif yang juga merupakan bilangan kuadrat kurang dari seratus ribu adalah 124657.

Carilah jumlah semua bilangan progresif yang juga merupakan bilangan kuadrat kurang dari satu triliun (10¹²).

Answer: 2aaefa1db80951be140183f9e8c0194e

Soal 142

Carilah nilai x + y + z terkecil, dengan syarat x > y > z > 0, dan x, y, dan z adalah bilangan bulat, sehingga x + y, x − y, x + z, x − z, y + z, y − z semuanya adalah bilangan kuadrat sempurna.

Answer: d3de282705508407532aa20ca8928e3b

Soal 143

Misalkan terdapat sebuah segitiga ABC dengan besar semua sisi bagian dalamnya kurang dari 120 derajat. Misalkan X adalah titik yang terletak di dalam segitiga tersebut, dan misalkan XA = p, XC = q, dan XB = r.

Fermat pernah menantang Torricelli untuk mencari posisi X saat p + q + r memiliki nilai sekecil mungkin.

Torricelli dapat membuktikan, bahwa jika segitiga sama sisi AOB, BNC dan AMC digambarkan pada setiap sisi segitiga ABC, lingkaran luar dari segitiga AOB, BNC, dan AMC akan berpotongan di satu titik T, di dalam segitiga. Kemudian ia membuktikan bahwa T, yang disebut titik Torricelli/Fermat, mempunyai nilai p + q + r terkecil. Bahkan lebih luar biasanya lagi, dapat dibuktikan bahwa saat hasil penjumlahan dibuat sekecil mungkin, AN = BM = CO = p + q + r dan AN, BM serta CO juga saling berpotongan pada titik T.

Jika hasil penjumlahan telah dibuat sekecil mungkin dan a, b, c, p, q serta r semuanya adalah bilangan bulat positif, kita akan menyebut segitiga ABC sebagai segitiga Torricelli. Sebagai contoh, a = 399, b = 455, c = 511 adalah salah satu contoh dari segitiga Torricelli triangle, dengan p + q + r = 784.

Carilah jumlah semua hasil berbeda dari p + q + r ≤ 120000 untuk segitiga Torricelli.

Answer: ec2d4c1a0c204d1f06ea5e2d189034f6

Soal 144

Dalam ilmu fisika tentang laser, sebuah "white cell" adalah sebuah sistem cermin yang bertindak untuk menunda jalannya sinar laser. Saat sinar memasuki cell, sinar akan memantul di dalam cell, sampai sinar tersebut berhasil kembali keluar.

Sebuah white cell akan kita anggap memiliki bentuk elips dengan persamaan 4x² + y² = 100

Bagian pada interval −0.01 ≤ x ≤ +0.01 di sebelah atas adalah kosong, sehingga memungkinkan sinar untuk masuk dan keluar dari lubang tersebut.

Sinar pada soal ini mulai bergerak dari titik (0.0,10.1) di luar white cell, dan sinar pertama kali menabrak dinding cell di (1.4,-9.6).

Setiap kali sinar laser menabrak permukaan elips, sinar tersebut akan mengikuti hukum pemantulan pada fisika "sudut datang sama dengan sudut pandul." Sehingga, kedua sudut, baik sudut datang maupun sudut pantul akan memiliki besar sudut yang sama pada titik pemantulan cermin.

Pada gambar di sebelah kiri, garis merah menunjukkan dua titik kontak pertama antara sinar laser dengan dinding white cell; garis biru menunjukkan garis singgung pada sebuah titik di elips yang merupakan titik pemantulan pertama.

Kemiringan atau gradien m dari garis singgung pada titik (x,y) apapun yang menyinggung elips adalah: m = −4x/y

Garis normal yang ada adalah tegak lurus dengan garis singgung ini, dan berpotongan pada titik pantul.

Animasi di sebelah kanan akan menunjukkan 10 pemantulan pertama sinar laser.

Berapa kali sinar menabrak permukaan dalam white cell sampai akhirnya berhasil keluar?

Answer: 8dd48d6a2e2cad213179a3992c0be53c

Soal 145

Beberapa bilangan bulat positif n memiliki hasil penjumlahan [ n + kebalikan(n) ] yang berisi angka-angka ganjil. Sebagai contoh, 36 + 63 = 99 dan 409 + 904 = 1313. Kita akan menyebut bilangan tersebut sebagai bilangan reversible; sehingga 36, 63, 409, dan 904 adalah reversible. Angka nol di awal tidak diperbolehkan, baik pada n maupun pada kebalikan (n).

Terdapat 120 buah bilangan reversible kurang dari seribu.

Berapa banyak bilangan reversible kurang dari satu milliar (10⁹)?

Answer: 705e8444ad9c92e9a7589fb97515a9b6

Soal 146

Bilangan bulat terkecil n yang dapat menghasilkan n²+1, n²+3, n²+7, n²+9, n²+13, dan n²+27 berupa bilangan prima berurutan adalah n=10. Jumlah semua bilangan n kurang dari satu juta adalah 1242490.

Berapakah jumlah semua bilangan bulat n yang memiliki sifat serupa yang kurang dari 150 juta?

Answer: 525bd2bf0e31b0f19b38a1d21f2f6a16

Soal 147

Pada kotak-kotak bersilang berukuran 3x2, terdapat sebanyak 37 persegi panjang berbeda yang dapat dibuat mengikuti garis yang ada seperti terlihat pada gambar.

Terdapat 5 ukuran kotak-kotak bersilang lain yang lebih keci dari 3x2, yaitu 1x1, 2x1, 3x1, 1x2 dan 2x2. Jika setiap kotak-kotak bersilang tersebut dicari jumlah persegi panjangnya, maka akan didapat jumlah persegi panjang sebagai berikut:

1x1: 1
2x1: 4
3x1: 8
1x2: 4
2x2: 18

Dengan menambahkan angka di atas dengan 37 dari kotak-kotak ukuran 3x2, maka kita akan mendapatkan sebayak 72 persegi panjang berbeda yang dapat dibuat dari kotak-kotak bersilang berukuran kurang dari atau sama dengan 3x2.

Berapa banyak persegi panjang yang dapat dibuat dari kotak-kotak bersilang berukuran kurang dari atau sama dengan 47x43?

Answer: d0fca7d85d4a4df043a2ae5772ea472e

Soal 148

Kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa tidak ada satupun bilangan pada tujuh baris pertama segitiga pascal yang habis dibagi 7:

                                   1
                                1     1
                             1     2     1
                          1     3     3     1
                       1     4     6     4     1
                    1     5    10    10     5     1
                 1     6    15    20    15     6     1

Tetapi, apabila kita memeriksa seratus baris pertama, kita akan menemukan bahwa hanya terdapat 2361 bilangan dari 5050 bilangan y ang ada yang tidak habis dibagi 7.

Carilah berapakah banyaknya bilangan yang tidak habis dibagi 7 pada satu miliar (10⁹) baris pertama segitiga Pascal.

Answer: 8a631ab4e3d06baf88299bf4e501b837

Soal 149

Dengan melihat tabel berikut ini, dapat dengan mudah dibuktikan bahwa hasil penjumlahan terbesar dari bilangan-bilangan dalam satu garis lurus ke segala arah (horizontal, vertikal, diagonal atau anti-diagonal) adalah 16 (= 8 + 7 + 1).

                         ┌────┬────┬────┬─────┐
                         │ −2 │ 5  │ 3  │ 2   │
                         ├────┼────┼────┼─────┤
                         │ 9  │ −6 │ 5  │ 1   │
                         ├────┼────┼────┼─────┤
                         │ 3  │ 2  │ 7  │ 3   │
                         ├────┼────┼────┼─────┤
                         │ −1 │ 8  │ −4 │   8 │
                         └────┴────┴────┴─────┘

Sekarang, mari kita mengulang proses pencarian, namun dalam skala yang lebih besar:

Pertama-tama, buatlah empat juta bilangan acak dengan sebuah teknik yang disebut sebagai "Lagged Fibonacci Generator":

Untuk 1 ≤ k ≤ 55, s_k = [100003 − 200003k + 300007k³] (modulo 1000000) − 500000.
Untuk 56 ≤ k ≤ 4000000, s_k = [s_k−24 + s_k−55 + 1000000] (modulo 1000000) − 500000.

Sehingga, s₁₀ = −393027 dan s₁₀₀ = 86613.

Bilangan-bilangan s tersebut kemudian disusun dalam tabel berukuran 2000×2000, menggunakan 2000 bilangan pertama untuk mengisi baris pertama (secara berurutan), lalu 2000 bilangan selanjutnya untuk mengisi baris kedua, dan seterusnya.

Akhirnya, carilah jumlah bilangan terbesar dalam satu garis lurus ke segalah arah (horizontal, vertikal, diagonal atau anti-diagonal).

Answer: 96affc386f4b786c2521a32944424982

Soal 150

Pada suatu barisan bilangan berbentuk segitiga, terdapat bilangan bulat positif dan negatif, kita akan mencari sebuah segitiga yang lebih kecil, yang akan memuat bilangan-bilangan yang memiliki hasil penjumlahan sekecil mungkin.

Pada contoh berikut ini, kita dapat dengan mudah membuktikan bahwa segitiga yang ditandai memiliki hasil penjumlahan −42.

Kita akan membuat barisan bilangan berbentuk segitiga seperti di atas, namun dengan seratus buah baris, sehingga kita akan membuat 500500 buah angka acak s_k pada rentang ±2¹⁹, menggunakan sebuah alat pembentuk angka acak (yang dikenal sebagai Linear Congruential Generator) sebagai berikut:

t := 0
for k = 1 up to k = 500500:
    t := (615949*t + 797807) modulo 2²⁰
    s_k := t−2¹⁹

Sehingga: s₁ = 273519, s₂ = −153582, s₃ = 450905 etc

Kemudian kita akan membentuk barisan bilangan berbentuk segitiga, dengan bilangan-bilangan acak tersebut:

Segitiga kecil yang akan kita pilih boleh dimulai dari mana saja pada segitiga besar, dan boleh memiliki tinggi berapapun sesuka kita (pada puncak segitiga, kita dapat mengambil dua bilangan di bawahnya, lalu kemudian tiga bilangan di bawahnya, dan seterusnya).
"Hasil penjumlahan dari segitiga kecil" didapatkan dengan cara menjumlahkan semua anggota yang terdapat di dalam segitiga kecil tersebut.
Carilah hasil penjumlahan terkecil dari bilangan-bilangan yang terdapat dalam segitiga kecil.

Answer: 1802939e514020769701c59b422c0498

Soal 151

Sebuah tempat percetakan mengerjakan 16 pekerjaan setiap minggu, dan setiap pekerjaan memerlukan selembar kertas pemeriksa warna dengan ukuran A5.

Setiap Senin pagi, kepala tempat percetakan membuka amplop baru, yang berisi selembar kertas pemeriksa warna besar berukuran A1.

Ia memotong kertas itu menjadi dua bagian sama besar, sehingga terdapat dua lembar kertas berukuran A2. Kemudian dia memotong lagi salah satu dari kertas tersebut menjadi dua, sehingga didapat dua lembar kertas berukuran A3, dan begitu seterusnya sampai ia mendapat kertas berukuran A5 yang ia perlukan untuk mengerjakan pekerjaan pertama di awal minggu.

Semua kertas yang tidak terpakai dikembalikan ke dalam amplop.

Saat awal dari setiap pekerjaan, ia mengambil kertas dari amplop secara acak. Jika kertas tersebut sudah berukuran A5, maka langsung ia gunakan. Tetapi apabila ia mendapat kertas yang lebih besar, ia akan melakukan proses pemotongan kembali, sampai ia mendapatkan ukuran kertas yang diperlukan, dan kembali menaruh sisanya ke dalam amplop.

Dengan mengabaikan pekerjaan pertama dan terakhir dalam setiap minggu, carilah perkiraan berapa kali kepala tempat percetakan tersebut hanya menemukan selembar kertas di dalam amplop (untuk setiap minggunya).

Berikan jawaban anda yang dibulatkan enam angka di belakang koma dengan format x.xxxxxx .

Answer: fb84a530fa9a8199edfadd618727fb70

Soal 152

Terdapat beberapa cara untuk menulis bilangan 1/2 sebagai hasil penjumlahan bilangan kebalikan kuadrat berbeda.

Sebagai contoh, bilangan {2,3,4,5,7,12,15,20,28,35} dapat digunakan dengan cara:

Kenyataannya, hanya dengan menggunakan bilangan bulat antara 2 sampai 45, terdapat tiga cara untuk melakukan hal yang sama seperti di atas, dua cara lainnya adalah: {2,3,4,6,7,9,10,20,28,35,36,45} dan {2,3,4,6,7,9,12,15,28,30,35,36,45}.

Berapa banyaknya cara untuk menulis bilangan 1/2 sebagai hasil penjumlahan bilangan kebalikan kuadrat, dengan menggunakan bilangan bulat berbeda antara 2 dan 80?

Answer: 34ed066df378efacc9b924ec161e7639

Soal 153

Seperti yang kita ketahui, persamaan x²=-1 tidak mempunyai solusi untuk x bilangan real.
Namun apabila kita mengenalkan bilangan imajiner i, persamaan ini akan memiliki dua solusi: x=i dan x=-i.
Jika kita melangkah lebih jauh, persamaan (x-3)²=-4 memiliki dua solusi bilangan kompleks: x=3+2i dan x=3-2i.
x=3+2i dan x=3-2i keduanya akan disebut konjugat kompleks.
Semua bilangan yang berbentuk a+bi akan disebut sebagai bilangan kompleks.
Secara umum a+bi dan a−bi adalah pasangan konjugat kompleks.

Bilangan bulat Gaussian adalah sebuah bilangan kompleks a+bi yang nilai a dan b nya merupakan bilangan bulat.
Bilangan bulat yang biasa kita gunakan juga merupakan bilangan bulat Gaussian (dengan nilai b=0).
Untuk membedakannya, maka bilangan bulat Gaussian dengan b ≠ 0 akan kita sebut sebagai "bilangan bulat rasional."
Sebuah bilangan bulat Gaussian akan disebut pembagi dari bilangan bulat rasional n, apabila hasil pembagiannya juga merupakan bilangan bulat Gaussian.
Sebagai contoh, kita akan membagi 5 dengan 1+2i, kita dapat mengerjakan dengan cara sebagai berikut:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat kompleks dari 1+2i: yaitu 1−2i.
Hasilnya adalah .
Sehingga 1+2i adalah merupakan pembagi dari 5.
Perlu diingat bahwa 1+i bukanlah pembagi dari 5 karena .
Perlu diingat juga bahwa jika sebuah bilangan bulat Gaussian (a+bi) merupakan pembagi dari suatu bilangan bulat rasional n, maka konjugat kompleksnya (a−bi) juga merupakan pembagi dari n.

Pada kenyataannya, 5 memiliki enam buah pembagi yang memiliki bagian real a positif: {1, 1 + 2i, 1 − 2i, 2 + i, 2 − i, 5}.
Tabel berikut ini berisi semua pembagi dari lima bilangan bulat rasional positif pertama:

Untuk pembagi dengan bagian real a positif, kita bisa mendapatkan:

Untuk 1 ≤ n ≤ 10⁵, ∑ s(n)=17924657155.

Berapakah ∑ s(n) untuk 1 ≤ n ≤ 10⁸?

Answer: 08ec9d6e6c2275d37e7a227fb2d1f06f

Soal 154

Sebuah piramida/limas segitiga dibuat menggunakan bola-bola, sehingga setiap bola bersandar pada tiga buah bola di bawahnya.

Lalu kita akan menghitung banyaknya jalur dari puncak piramida ke setiap posisi:

Setiap jalur dimulai dari puncak piramida, dan turun salah satu dari tiga bolah yang ada di bawahnya.

Akibatnya, banyaknya jalur yang diperlukan untuk sampai ke posisi tertentu bisa didapatkan dengan menjumlahkan bilangan bola-bola di atas bola tersebut (tergantung posisi bola, kita mungkin bisa menjumlahkan bilangan maksimal sampai tiga buah bola di atasnya).

Hasilnya, akan terbentuk piramida Pascal, dan bilangan-bilangan pada setiap tingkat n merupakan koefisien dari penjabaran (x + y + z)ⁿ.

Berapa banyak koefisien pada penjabaran (x + y + z)²⁰⁰⁰⁰⁰ yang merupakan kelipatan 10¹²?

Answer: de866633fa075beb3897cbbc8abf2400

Soal 155

Sebuah rangkaian listrik menggunakan kapasitor yang sama, yang memiiki kapasitansi C.
Kapasitor dapat dihubungkan baik secara seri ataupun pararel untuk membentuk sub-rangkaian, sub-rangkaian dapat juga dihubungkan secara seri atau pararel dengan kapasitor lain atau dengan sub-rangkaian lain untuk membentuk sub-rangkaian yang lebih besar, dan seterusnya sampai membentuk rangkaian final.

Dengan menggunakan prosedur sederhana ini, dan jika tersedia sampai sebanyak n kapasitor identik, kita dapat membuat rangkaian yang memiliki nilai kapasitansi berbeda-beda. Sebagai contoh, dengan menggunakan maksimal sebanyak n=3 kapasitor dengan kapasitansi 60 μF pada tiap kapastiornya, kita bisa mendapatkan tujuh nilai kapasitansi berbeda:

Jika kita lambangkan D(n) sebagai banyaknya nilai kapasitansi berbeda yang bisa didapatkan saat disediakan sebanyak n buah kapasitor berkapasitansi sama, sesuai dengan prosedur di atas, kita akan mendapatkan: D(1)=1, D(2)=3, D(3)=7 ...

Carilah D(18).

Catatan : Saat menghubungkan kapastior C₁, C₂ dan seterusnya secara pararel, total kapasitansinya akan menjadi C_T = C₁ + C₂ +...,
Sedangkan saat dihubungkan secara seri, nilai kapasitansi total akan mengikuti aturan:

Answer: da0a3fc900cc8ae42d514e280524ee39

Soal 156

Dimulai dari nol, bilangan asli dengan basis 10 dapat ditulis sebagai berikut:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12....

Perhatikan angka d=1. Setelah kita menuliskan setiap angka n, kita akan memperhatikan banyaknya angka satu yang telah muncul, dan kita akan melambangkan hal ini dengan f(n,1). Beberapa nilai pertama dari f(n,1), adalah sebagai berikut:

Perhatikan bahwa f(n,1) tidak pernah bernilai 3.
Dua solusi pertama dari persamaan f(n,1)=n adalah n=0 dan n=1. Kemudian solusi selanjutnya adalah n=199981.

Dengan cara yang sama, fungsi f(n,d) memberikan banyaknya angka d yang telah muncul setelah bilangan n muncul.
Pada kenyataannya, untuk semua angka d ≠ 0, 0 selalu menjadi solusi pertama dari persamaan f(n,d)=n.

Misalkan s(d) adalah hasil penjumlahan dari semua solusi yang memenuhi f(n,d)=n.
Diketahui bahwa s(1)=22786974071.

Carilah ∑ s(d) untuk 1 ≤ d ≤ 9.

Catatan: Jika terdapat nilai n yang sama, yang memenuhi f(n,d)=n untuk nilai d yang berbeda, maka nilai n ini harus ikut dihitung kembali secara terpisah, untuk setiap nilai d yang ada.

Answer: ac0c6b67ed28cebb02b802e7a204aaee

Soal 157

Misalkan terdapat sebuah persamaan diophantine ¹/_a+¹/_b= ^p/_10ⁿ dengan a, b, p, n merupakan bilangan bulat positif dan a ≤ b.
Untuk n=1 persamaan ini memiliki 20 solusi, yaitu sebagai berikut:

Berapakah banyaknya solusi yang dimiliki persamaan tersebut untuk 1 ≤ n ≤ 9?

Answer: c96fc71df4ef8f6420fda7958957538c

Soal 158

Dengan memilih tiga huruf acak dari 26 huruf yang ada di alfabet, kita dapat membentuk tulisan dengan panjang tiga karakter.
Contohnya adalah 'abc', 'hat' dan 'zyx'.
Saat kita mempelajari ketiga contoh ini, kita dapat melihat bahwa untuk 'abc' dua huruf yang ada muncul sesuai dengan urutan pada abjad bedasarkan huruf sebelah kirinya.
Sedangkan untuk 'hat' hanya terdapat satu huruf yang sesuai dengan urutan abjad, jika dibandingkan dengan huruf di sebelah kirinya. Untuk 'zyx' tidak terdapat huruf yang sesuai dengan urutan abjad, jika dibandingkan dengan huruf di sebelah kirinya.
Pada semua kemungkinan yang ada, terdapat 10400 buah tulisan yang dibentuk oleh 3 huruf, yang memiliki persis satu buah huruf yang sesuai urutan abjad, jika dibandingkan dengan huruf di sebelah kirinya.

Misalkan terdapat tulisan dengan n ≤ 26 karakter berbeda dari alfabet.
Untuk setiap n, p(n) adalah banyaknya tulisan yang dibentuk oleh n huruf, dimana terdapat persis satu buah huruf yang sesuai urutan abjad, jika dibandingkan dengan huruf di sebelah kirinya.

Berapakah nilai terbesar dari p(n)?

Answer: 6070fa194890e52b2989af5b542aee90

Soal 159

Sebuah bilangan komposit dapat difaktorkan dengan berbagai cara. Sebagai contoh, dengan mengabaikan perkalian dengan angka satu, bilangan 24 dapat dengan mudah difaktorkan dengan 7 cara berbeda:

Untuk mencari angka akar dari suatu bilangan, kita dapat menjumlahkan semua angka yang ada pada bilangan tersebut, kemudian mengulang proses tersebut sampai hasil penjumlahannya kurang dari 10. Sehingga angka akar dari 467 adalah 8.

Kita akan menyebut Angka Akar dari Penjumlahan/Digital Root Sum (DRS) sebagai hasil penjumlahan semua angka akar dari faktor-faktor suatu bilangan.
Diagram berikut akan menunjukkan semua nilai DRS untuk bilangan 24.

Nilai DRS terbesar dari 24 adalah 11.
Fungsi mdrs(n) akan memberikan nilai DRS terbesar untuk bilangan n. Sehingga mdrs(24)=11.
Carilah ∑mdrs(n) untuk 1 < n < 1,000,000.

Answer: 2ab79df40adc1028d1fa83a6333db907

Soal 160

Untuk nilai N apapun, f(N) adalah lima angka terakhir sebelum mucnulnya angka nol berulang-ulang pada N!.
Sebagai contoh,

9! = 362880 sehingga f(9)=36288
10! = 3628800 sehingga f(10)=36288
20! = 2432902008176640000 sehingga f(20)=17664

Carilah f(1,000,000,000,000)

Answer: e51ada1e23f810eb1b51a18bb6825f85

Soal 161

Triomino adalah sebuah bentuk yang dibuat dari tiga persegi, yang disambungkan sisinya. Terdapat dua bentuk dasar:

Jika semua arah hadap diperhitungkan, maka terdapat enam macam kombinasi:

Semua persegi panjang berukuran n x m dimana nxm habis dibagi 3 dapat dibentuk oleh triominoes.
Jika hasil refleksi dan rotasi dari triomino dianggap sebagai pola yang berbeda, maka kita bisa mendapatkan 41 cara untuk membentuk persegi panjang berukuran 2 x 9 dengan triomino:

Berapakah banyaknya cara persegi panjang berukuran 9 x 12 bisa dibentuk oleh triomino?

Answer: 975ccc38bb5402c5b485f3de5928d919

Soal 162

Pada sistem bilangan heksadesimal, bilangan dituliskan dengan 16 angka berbeda:

Bilangan heksadesimal AF saat dituliskan dalam bentuk desimal sama dengan 10x16+15=175.

Pada bilangan heksadesimal 3 angka, bilangan 10A, 1A0, A10, dan A01 semuanya mempunyai angka 0,1 dan A.
Seperti bilangan yang ditulis di secara desimal, kita menulis bilangan heksadesimal tanpa angka nol di depan.

Berapa banyak bilangan heksadesimal yang dibentuk dari paling banyak enam belas angka, yang angka 0, 1, dan A nya muncul setidaknya satu kali?
Berikan jawaban Anda dalam bilangan heksadesimal.

(A,B,C,D,E dan F harus ditulis dengan huruf kapital, tanpa perlu ditandai bahwa bilangan tersebut adalah bilangan heksadesimal, dan tidak diawali dengan angka nol, sebagai contoh 1A3F adalah penulisan yang benar, dan bukan: 1a3f dan bukan 0x1a3f juga bukan $1A3F juga bukan #1A3F dan bukan 0000001A3F)

Answer: 049419b9fdad9af74d5888626fff56a3

Soal 163

Misalkan terdapat sebuah segitiga sama sisi, dan digambarkan sebuah garis lurus dari semua titik pada segitiga ke tengah-tengah sisi di seberangnya, seperti pada gambar size 1 berikut ini.

Sekarang enam belas segitiga berbeda ukuran, bentuk, arah hadap, dan tempat dapat ditemukan pada segitiga ini. Menggunakan segitiga size 1 sebagai segitiga pembangun, kita dapat membentuk segitiga yang lebih besar, salah satunya adalah segitiga size 2 pada gambar di atas. Sekarang kita dapat melihat bahwa terdapat seratus empat buah segitiga berbeda, jika kita mengamati segitiga size 2.

Dapat terlihat bahwa segitiga size 2 dibentuk dari 4 buah segitiga size 1. Sebuah segitiga size 3 nantinya akan berisi 9 buah segitiga size 1 dan segitiga dengan ukuran size n akan berisi n² buah segitiga size 1.

Jika kita melambangkan T(n) sebagai banyaknya segitiga yang dapat diamati dari segitiga dengan ukuran size n, maka

T(1) = 16
T(2) = 104

Carilah T(36).

Answer: a4f66a42a5b5dc395d00463d77e0a0c6

Soal 164

Berapakah banyaknya bilangan 20-angka n (tidak diawali dengan angka nol) yang ada, sehingga tidak ada tiga angka berurutan pada n yang memiliki jumlah lebih dari 9?

Answer: 6e96debf3bfe7cc132401bafe5a5d6d6

Soal 165

Sebuah segmen garis ditentukan oleh dua titik ujungnya.
Apabila terdapat dua segmen garis dalam sebuah bidang geometri, maka terdapat tiga kemungkinan:
kedua segmen tidak bertemu di titik manapun, bertemu di satu titik, atau bertemu di tak hingga buah titik.

Selanjutnya, saat dua segmen garis bertemu di satu titik, ada kemungkinan titik temu tersebut merupakan ujung dari salah satu segmen, atau bahkan ujung dari kedua segmen. Jika titik temu kedua segmen garis bukan merupakan ujung dari kedua segmen, maka kita akan menyebut titik tersebut sebagai titik interior segmen.
Kita akan menyebut titik temu T antara dua segmen L₁ dan L₂ sebagai titik potong sejati dari L₁ dan L₂ apabila T merupakan salah satu titik yang terdapat pada L₁ dan L₂, dan T merupakan titik interior dari kedua segmen.

Misalkan terdapat tiga segmen garis L₁, L₂, dan L₃:

L₁: (27, 44) sampai (12, 32)
L₂: (46, 53) sampai (17, 62)
L₃: (46, 70) sampai (22, 40)

Dapat dibuktikan bahwa segmen garis L₂ dan L₃ mempunyai sebuah titik potong sejati. Perlu diingat bahwa walaupun titik ujung dari L₃: (22,40) terdapat pada L₁, tapi titik ini tidak dianggap sebagai titik potong sejati. Sedangkan L₁ dan L₂ tidak memiliki titik temu sama sekali. Sehingga antar ketiga segmen garis tersebut, kita bisa menemukan satu titik potong sejati.

Sekarang kita akan melakukan hal yang sama untuk 5000 segmen garis. Kita akan membuat 20000 bilangan menggunakan metode "Blum Blum Shub", sebuah metode untuk membentuk bilangan acak.

s₀ = 290797

s_n+1 = s_n×s_n (modulo 50515093)

t_n = s_n (modulo 500)

Untuk membuat sebuah segmen garis, kita akan menggunakan empat bilangan berurutan t_n. Sehingga, segmen garis pertama yang ada adalah:

(t₁, t₂) to (t₃, t₄)

Empat bilangan pertama yang dibuat secara acak dengan cara di atas adalah: 27, 144, 12 dan 232. Sehingga segmen garis pertamanya akan menjadi (27,144) sampai (12,232).

Berapakah banyaknya titik potong sejati berbeda, yang terdapat pada 5000 segmen garis tersebut?

Answer: b87b096af5a545b4f7a45cfed4e67c87

Soal 166

Sebuah kotak-kotak berukuran 4x4 diisi dengan angka d, 0 ≤ d ≤ 9.

Dapat terlihat pada kotak-kotak

6 3 3 0
5 0 4 3
0 7 1 4
1 2 4 5

hasil penjumlahan dari setiap baris dan kolom mempunyai nilai 12. Selanjutnya, jumlah dari setiap diagonal juga 12.

Berapakah banyaknya cara kita bisa mengisi kotak-kotak berukuran 4x4, dengan angka d, 0 ≤ d ≤ 9 sehingga setiap baris, kolom, dan diagonal memiliki jumlah yang sama?

Answer: e4f39f61ee7f1bfe433a177c07f5512f

Soal 167

Untuk dua bilangan bulat positif a dan b, sebuah barisan Ulam U(a,b) dinyatakan oleh U(a,b)₁ = a, U(a,b)₂ = b dan untuk k > 2, U(a,b)_k adalah bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari U(a,b)_(k-1) yang dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan dua anggota berbeda sebelumnya pada U(a,b).

Sebagai contoh, barisan U(1,2) dimulai dengan
1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8;
5 tidak termasuk anggota barisan di atas karena 5 = 1 + 4 = 2 + 3 mempunyai dua cara untuk dibentuk dari anggota-anggota sebelumnya, sama juga seperti 7 = 1 + 6 = 3 + 4.

Carilah ∑U(2,2n+1)_k untuk 2 ≤ n ≤10, dimana k = 10¹¹.

Answer: aa5b61f6f4d96cbaeb5944b8fcdf64a3

Soal 168

Misalkan terdapat bilangan 142857. Kita dapat melakukan rotasi-kanan bilangan ini dengan memindahkan angka terakhir (7) ke depan, dan akan memberikan kepada kita bilangan 714285.
Dapat dibuktikan bahwa 714285=5×142857.
Ini menunjukkan sifat tidak biasa dari 142857: yaitu merupakan pembagi dari rotasi-kanan nya.

Carilah 5 angka terakhir dari penjumlahan semua bilangan bulat n, 10 < n < 10¹⁰⁰, yang memiliki sifat ini.

Answer: 39e7aab76650b018578830bc6dba007a

Soal 169

Dinyatakan f(0)=1 dan f(n) adalah banyaknya cara suatu bilangan n dapat dituliskan sebagai hasil penjumlahan bilangan bulat kuadrat yang masing-masing tidak lebih dari dua kali.

Sebagai contoh, f(10)=5 karena terdapat lima cara untuk menghasilkan 10:

1 + 1 + 8
1 + 1 + 4 + 4
1 + 1 + 2 + 2 + 4
2 + 4 + 4
2 + 8

Berapakah nilai f(10²⁵)?

Answer: d149d4836703a8908becea56ddd3ed42

Soal 170

Kita ambil angka 6, lalu kita kalikan dengan 1273 dan 9854, maka akan didapat:

6 × 1273 = 7638
6 × 9854 = 59124

Dengan menyatukan kedua hasil kali tersebut, kita akan mendapatkan bilangan pandigital 1 sampai 9, yaitu 763859124. Kita akan menyebut 763859124 sebagai “Hasil penyatuan perkalian dari 6 dan (1273,9854)”. Perlu diingat, bahwa hasil penggabungan dari bilangan-bilangan awalnya, yaitu 612739854, juga merupakan bilangan pandigital 1 sampai 9.

Hal yang sama bisa dilakukan untuk bilangan pandigital 0 sampai 9.

Berapakah bilangan pandigital 10-angka terbesar dari 0 sampai 9, yang dibentuk dengan cara menyatukan hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan dua atau lebih bilangan bulat lainnya, dan bilangan bulat awal yang digunakan juga merupakan bilangan pandigital 10-angka dari 0 sampai 9?

Answer: 6ffe65352f717c1731666a107ace96c1

Soal 171

Untuk bilangan bulat postif n, f(n) adalah hasil penjumlahan dari kuadrat angka-angka pada bilangan n, Sebagai contoh

f(3) = 3² = 9,
f(25) = 2² + 5² = 4 + 25 = 29,
f(442) = 4² + 4² + 2² = 16 + 16 + 4 = 36

Carilah sembilan angka terakhir dari penjumlahan semua n, 0 < n < 10²⁰, yang f(n) nya adalah berupa bilangan kuadrat.

Answer: ff586db8c4a5699ec78c645fcb27db7b

Soal 172

Berapa banyak bilangan 18-angka n (yang tidak diawali dengan angka nol) yang semua angka-angkanya tidak ada yang muncul lebih dari tiga kali?

Answer: f5f260ee21ead7478403c2ccd18a1829

Soal 173

Kita akan membuat sebuah bidang berbentuk persegi dengan "lubang" berbentuk persegi di tengahnya, sehingga bidang tersebut simetris secara vertikal maupun horizontal. Sebagai contoh, menggunakan persis tiga puluh dua ubin persegi, kita bisa membentuk dua macam bidang yang berbeda:

Dengan seratus buah ubin, dan Anda tidak diharuskan untuk menggunakan semua ubin, Anda dapat membentuk empat puluh satu bidang berbeda.

Jika disediakan satu juta buah ubin, berapa banyak cara bidang persegi seperti di atas yang dapat dibentuk?

Answer: 177f825c89a68aefae37b8dec9bb8a9b

Soal 174

Kita akan membuat sebuah bidang berbentuk persegi dengan "lubang" berbentuk persegi di tengahnya, sehingga bidang tersebut simetris secara vertikal maupun horizontal.

Jika diberikan delapan buah ubin persegi, maka kita hanya dapat membentuk bidang dengan satu cara: yaitu bidang yang berukuran 3x3 dengan lubang berukuran 1x1 di tengahnya. Tetapi, menggunakan tiga puluh dua ubin, kita dapat membentuk dua bidang berbeda.

Jika t melambangkan banyaknya ubin yang digunakan, kita dapat mengatakan bahwa t = 8 adalah bidang tipe L(1) dan t = 32 adalah bidang tipe L(2).

Misalkan N(n) adalah banyaknya t ≤ 1000000, sehingga t akan membentuk bidang tipe L(n); sebagai contoh, N(15) = 832.

Berapakah ∑ N(n) untuk 1 ≤ n ≤ 10?

Answer: 73166006522ed7f51ed3e2ca66353b66

Soal 175

Diketahui f(0)=1 dan f(n) adalah banyaknya cara untuk menulis bilangan n sebagai hasil dari penjumlahan bilangan 2^x, dimana tidak ada bilangan 2^x yang muncul lebih dari dua kali.

Sebagai contoh, f(10)=5 karena terdapat lima cara berbeda untuk menyatakan 10:
10 = 8+2 = 8+1+1 = 4+4+2 = 4+2+2+1+1 = 4+4+1+1

Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap pecahan p/q (p>0, q>0) terdapat setidaknya satu buah bilangan bulat n, sehingga
f(n)/f(n-1)=p/q.

Sebagai contoh, bilangan n terkecil yang memenuhi f(n)/f(n-1)=13/17 adalah 241.
Bentuk biner dari 241 adalah 11110001.
Jika bilangan biner ini dibaca dari kiri ke kanan, dapat terlihat bahwa terdapat 4 buah angka satu, 3 buah angka nol, kemudian 1 buah angka satu. Kita akan menyebut 4,3,1 sebagai Shortened Binary Expansion of 241.

Carilah Shortened Binary Expansion untuk nilai n terkecil, dimana
f(n)/f(n-1)=123456789/987654321.

Berikan jawaban Anda dengan bilangan bulat yang dipisahkan dengan koma, tanpa ada spasi.

Answer: 796dddd004c3465229058072f5b4583e

Soal 176

Terdapat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi (9,12,15), (12,16,20), (5,12,13) dan (12,35,37). Semua segitiga memiliki salah satu kaki (catheti) dengan panjang 12. Dapat terlihat bahwa tidak ada segitiga siku-siku lain yang panjang sisinya berupa bilangan bulat, yang panjang salah satu kakinya (catheti) sama dengan 12.

Carilah bilangan bulat terkecil yang bisa menjadi panjang kaki (catheti) dari 47547 buah segitiga siku-siku bersisi bilangan bulat.

Answer: c47c782ebaf8cdbb60eebfa86cd0003c

Soal 177

Misalkan ABCD adalah segiempat konveks, dengan diagonal AC dan BD. Pada setiap titik sudut, setiap diagonal akan membuat sebuah sudut dengan dua buah sisi lain, sehingga akan terbentuk delapan buah sudut pada pojok segi empat.

Sebagai contoh, pada titik A, terdapat dua buah sudut, yaitu CAD dan CAB.

Segi empat seperti ini, yang ke delapan sudut pada pojok segi empatnya merupakan bilangan bulat (diukur dalam derajat) akan kita sebut sebagai "Segi empat bersudut bilangan bulat". Salah satu contoh segi empat bersudut bilangan bulat adalah sebuah persegi, dimana kedelapan sudut pada pojok segiempatnya adalah 45°. Contoh lain adalah sebuah segi empat dengan sudut DAC = 20°, BAC = 60°, ABD = 50°, CBD = 30°, BCA = 40°, DCA = 30°, CDB = 80°, dan ADB = 50°.

Berapakah banyaknya semua segi empat bersudut bilangan bulat?

Catatan: Dalam perhitungan Anda, Anda dapat menganggap sebuah sudut memiliki bilangan bulat, walaupun sudut tersebut masih memiliki penyimpangan sampai 10^-9, atau sembilan angka di belakang koma.

Answer: d7a85236af930db0f7e84f2de8ee7ac2

Soal 178

Pada bilangan 45656.
Dapat terlihat bahwa setiap pasangan angka pada bilangan 45656 memiliki beda satu.
Sebuah bilangan yang setiap pasangan angka berurutannya memiliki beda satu disebut bilangan melangkah.
Sebuah bilangan disebut sebagai bilangan pandigital apabila bilangan tersebut memiliki semua angka dari 0 sampai 9 setidaknya sekali.

Berapa banyak bilangan melangkah pandigital kurang dari 10⁴⁰ yang ada?

Answer: 2ffddfa898fa5df6321aebea84d4f33f

Soal 179

Carilah bilangan bulat 1 < n < 10⁷, dimana n dan n + 1 memiliki banyak pembagi habis positif yang sama. Sebagai contoh, 14 memiliki pembagi habis positif empat buah, yaitu 1, 2, 7, 14 dan 15 juga memiliki pembagi positif empat buah, yaitu 1, 3, 5, dan 15.

Answer: bafa0132bc7fc422a8d53bebb9d003c9

Soal 180

Untuk bilangan bulat n, terdapat tiga buah fungsi

f_1,n(x,y,z) = xⁿ⁺¹ + yⁿ⁺¹ − zⁿ⁺¹
f_2,n(x,y,z) = (xy + yz + zx)*(x^n-1 + y^n-1 − z^n-1)
f_3,n(x,y,z) = xyz*(x^n-2 + y^n-2 − z^n-2)

dan kombinasi ketiganya

f_n(x,y,z) = f_1,n(x,y,z) + f_2,n(x,y,z) − f_3,n(x,y,z)

Kita akan menyebut (x,y,z) sebagai bilangan triple emas dengan orde k jika x, y, dan z semuanya merupakan bilangan rasional dengan bentuk a / b dengan
0 < a < b ≤ k dan setidaknya terdapat satu bilangan bulat n, sehingga f_n(x,y,z) = 0.

Misalkan s(x,y,z) = x + y + z.
Kita misalkan t = u / v sebagai hasil penjumlahan semua nilai berbeda dari s(x,y,z) untuk semua bilangan triple emas (x,y,z) dengan orde 35.
Semua s(x,y,z) dan t harus dalam bentuk paling sederhana.

Carilah u + v.

Answer: 6459f69d151314c59df404868f45fa96

Soal 181

Terdapat tiga buah benda berwarna black (hitam) B dan satu benda bewarna white (putih) W, benda-benda tersebut dapat dikelompokkan dengan 7 cara, cara-cara tersebut adalah sebagai berikut:

Berapakah banyaknya cara enam puluh benda black (hitam) B dan empat puluh benda white (putih) W dapat dikelompokkan?

Answer: 0e1233ecbc058dabf54a8602eac55d95

Soal 182

Prosedur untuk melakukan Enkripsi RSA adalah sebagai berikut:

Buatlah dua buah angka prima berbeda p dan q.
Lalu Hitung n=pq dan φ=(p-1)(q-1).
Cari sebuah bilangan bulat e, 1<e<φ, sehingga FPB(e,φ)=1.

Sebuah pesan pada sistem ini haruslah berupa bilangan pada interval [0,n-1].
Teks yang akan dikirim harus terlebih dahulu diubah menjadi message berbentuk bilangan pada interval [0,n-1].
Untuk mengenkripsi teks, untuk tiap message m, kita harus menghitung c=m^e mod n.

Untuk mendekripsi teks, prosedur berikut ini yang harus dilakukan: hitunglah nilai d sehingga ed=1 mod φ, lalu untuk message yang telah dienkripsi c, hitunglah m=c^d mod n.

Terdapat nilai e dan m sehingga m^e mod n=m.
Kita akan menyebut message m dimana m^e mod n=m sebagai pesan yang tidak berhasil disembunyikan.

Permasalah muncul saat kita akan memilih nilai e, yaitu nilai yang dipilih harus menyebabkan tidak terlalu banyak pesan yang tidak berhasil disembunyikan.
Sebagai contoh, misalkan p=19 dan q=37.
Maka n=19*37=703 dan φ=18*36=648.
Jika kita memilih e=181, maka walaupun FPB(181,648)=1, tapi dapat ditemukan bahwa semua messages
m (0≤m≤n-1) tidak berhasil disembunyikan saat kita menghitung m^e mod n.
Untuk semua nilai e pasti terdapat beberapa message yang tidak berhasil disembunyikan.
Penting bagi kita untuk membuat jumlah pesan yang tidak berhasil disembunyikan sesedikit mungkin.

Jika dipilih p=1009 dan q=3643.
Carilah jumlah semua nilai e, 1<e<φ(1009,3643) dan FPB(e,φ)=1, sehingga banyaknya message yang tidak berhasil disembunyikan oleh nilai e ini sesedikit mungkin.

Answer: 088ad9a61e60b9309e91cfc3ed27d729

Soal 183

Misalkan terdapat bilangan bulat positif N, dan misalkan N akan kita pisah menjadi k bagian sama besar, r = N/k, Sehingga N = r + r + ... + r.
Misalkan P adalah hasil kali dari semua bagian-bagian tersebut, maka P = r × r × ... × r = r^k.

Sebagai contoh, jika 11 dibagi menjadi lima bagian sama besar, 11 = 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2, maka P = 2.2⁵ = 51.53632.

Misalkan M(N) = P_max untuk nilai N yang diberikan.

Ternyata hasil perkalian terbesar untuk N = 11 dapat ditemukan dengan cara membagi sebelas menjadi empat bagian sama besar, yang akan menghasilkan P_max = (11/4)⁴; sehingga M(11) = 14641/256 = 57.19140625, dimana hasil tersebut merupakan desimal tidak berulang.

Tetapi untuk N = 8, hasil perkalian terbesar didapatkan dengan membagi bilangan menjadi tiga bagian sama besar, sehingga M(8) = 512/27, dan hasil tersebut merupakan bilangan desimal berulang.

Diketahui D(N) = N, jika M(N) adalah bilangan desimal berulang, dan D(N) = -N jika M(N) adalah bilangan desimal yang tidak berulang.

Sebagai contoh, ΣD(N) untuk 5 ≤ N ≤ 100 adalah 2438.

Carilah ΣD(N) untuk 5 ≤ N ≤ 10000.

Answer: 438bc10af8f8eb366ec1371478ca3d3c

Soal 184

Terdapat himpunan I_r yang berisi titik-titik (x,y) yang koordinatnya berupa bilangan bulat , yang titik-titiknya berada dalam lingkaran berjari-jari r, dan berpusat di pusat koordinat, yaitu lingkaran x² + y² < r².

Untuk jari-jari 2, I₂ berisi sembilan titik, yaitu (0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1) dan (1,-1). Terdapat delapan segitiga yang titik-titik sudutnya merupakan anggota I₂ yang sebelah dalam segitiganya terdapat pusat koordinat. Dua dari mereka ditunjukkan di gambar berikut, Segitiga lainnya bisa didapatkan dengan cara merotasikan kedua segitiga ini.

Untuk jari-jari 3, terdapat 360 segitiga yang di dalam segitiganya terdapat pusat koordinat, dan titik-titik sudutnya merupakan anggota I₃. Lalu untuk I₅ banyaknya segitiga serupa adalah 10600.

Berapakah banyaknya segitiga yang sebelah dalamnya terdapat pusat koordinat, dan ketiga sisinya merupakan anggota himpunan I₁₀₅?

Answer: aa80f8619ed594e5d7852564457dbca6

Soal 185

Number Mind adalah salah satu bagian dari permaian populer Master Mind.

Anda diharuskan untuk menebak urutan angka-angka. Setiap kali melakukan tebakan, Anda hanya akan diberi tahu berapa buah angka yang benar Anda tebak. Sehingga, jika bilangan yang harus ditebak adalah 1234, dan Anda menebak 2036, Anda akan diberi tahu bahwa Anda berhasil menebak dengan benar satu angka; tetapi, Anda TIDAK AKAN diberi tahu apabila angka yang anda tebak hanya salah letaknya.

Sebagai contoh, berikut ini adalah hasil tebakan dari bilangan rahasia 5-angka,

90342 ;2 benar
70794 ;0 benar
39458 ;2 benar
34109 ;1 benar
51545 ;2 benar
12531 ;1 benar

Sedangkan bilangan rahasia yang benar adalah 39542.

Bedasarkan tebakan berikut,

5616185650518293 ;2 benar
3847439647293047 ;1 benar
5855462940810587 ;3 benar
9742855507068353 ;3 benar
4296849643607543 ;3 benar
3174248439465858 ;1 benar
4513559094146117 ;2 benar
7890971548908067 ;3 benar
8157356344118483 ;1 benar
2615250744386899 ;2 benar
8690095851526254 ;3 benar
6375711915077050 ;1 benar
6913859173121360 ;1 benar
6442889055042768 ;2 benar
2321386104303845 ;0 benar
2326509471271448 ;2 benar
5251583379644322 ;2 benar
1748270476758276 ;3 benar
4895722652190306 ;1 benar
3041631117224635 ;3 benar
1841236454324589 ;3 benar
2659862637316867 ;2 benar

Carilah bilangan rahasia dengan panjang 16-angka ini.

Answer: 70f84864f21c4bf07ee53436580cd4bb

Soal 186

Ini adalah catatan dari sistem jaringan telepon dengan satu juta pengguna:

Nomor telepon dari penelepon (caller) dan penerima (called) ke-n adalah Caller(n) = S_2n-1 dan Called(n) = S_2n dimana S_1,2,3,... dibuat dengan metode "Lagged Fibonacci Generator":

Untuk 1 ≤ k ≤ 55, S_k = [100003 - 200003k + 300007k³] (modulo 1000000)
Untuk 56 ≤ k, S_k = [S_k-24 + S_k-55] (modulo 1000000)

Jika Caller(n) = Called(n), maka penelepon dianggap salah sambung, dan proses telepon tersebut dianggap gagal; sebaliknya, jika nomor penelepon dan penerima tidak sama, proses telepon dianggap sukses.

Dari awal catatan, kita dapat mengatakan bahwa semua pasangan pengguna telepon X dan Y adalah saling berteman apabila X menelepon Y atau sebaliknya. Hal yang sama, X adalah teman dari Z jika X merupakan teman dari Y, dan Y merupakan teman dari Z; dan begitu seterusnya terbentuk rantai yang lebih panjang.

Nomor telepon perdana menteri adalah 524287. Setelah beberapa telepon yang berhasil tersambung, telepon yang salah sambung tidak dihitung, apakah 99% dari pengguna telepon (termasuk sang perdana menteri) akan menjadi teman, atau temannya teman, dan seterusnya..., dari sang perdana menteri?

Answer: b21d68f1871abf1d5bbcf1206b3f1643

Soal 187

Bilangan komposit adalah bilangan yang memiliki setidaknya dua faktor prima. Sebagai contoh, 15 = 3 × 5; 9 = 3 × 3; 12 = 2 × 2 × 3.

Terdapat sepuluh bilangan komposit kurang dari tiga puluh yang mempunyai persis dua buah faktor prima yang boleh sama ataupun berbeda: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26.

Berapa banyak bilangan komposit n < 10⁸, yang mempunyai persis dua buah faktor prima yang boleh sama ataupun berbeda?

Answer: b3e6977523511d2cbbef8fccb1e394db

Soal 188

Hasil hyperexponentiation atau tetration bilangan a dengan bilangan bulat positif b, dilambangkan dengan a↑↑b atau ^ba, dan dapat dihitung secara rekursif dengan:

a↑↑1 = a,
a↑↑(k+1) = a^(a↑↑k).

Sebagai contoh, 3↑↑2 = 3³ = 27, sehingga 3↑↑3 = 3²⁷ = 7625597484987 dan 3↑↑4 dihitung secara kasar adalah 10^{3.6383346400240996*10^12}.

Carilah delapan angka terakhir dari 1777↑↑1855.

Answer: 62746b4d40a2b87c3dd6caee5d33e6a1

Soal 189

Perhatikan susunan 64 buah segitiga berikut:

Kita akan mewarnai setiap segitiga dengan salah satu dari tiga warna: merah, hijau, atau biru, sehingga tidak ada dua buah segitiga bersebelahan yang mempunyai warna yang sama. Jika berhasil, maka hasil pewarnaan tersebut akan dianggap berhasil. Di soal ini, dua segitiga dikatakan bersebelahan apabila memiliki satu sisi yang sama.
Catatan: Jika hanya sama titik sudutnya saja, segitiga tersebut tidak dianggap bersebelahan.

Contoh berikut ini adalah hasil pewarnaan yang sah pada segitiga di atas:

Proses pewarnaan C' yang didapatkan dari hasil rotasi atau refelksi pewarnaan C akan dianggap berbeda dari C, keduali hasil pewarnaan keduanya identik.

Berapakah banyaknya cara berbeda untuk mewarnai segitiga-segitiga di atas secara sah?

Answer: d3dfdd37601678212b746c34699f1484

Soal 190

Misalkan S_m = (x₁, x₂, ... , x_m) adalah kumpulan m-buah bilangan real positif yang memenuhi x₁ + x₂ + ... + x_m = m, dan memiliki nilai P_m = x₁ * x₂² * ... * x_m^m sebesar mungkin.

Sebagai contoh, dapat dibuktikan bahwa [P₁₀] = 4112 ([ ] melambangkan bagian fungsi yang berupa bilangan bulat).

Carilah Σ[P_m] untuk 2 ≤ m ≤ 15.

Answer: 40cfcabd9b30d79ec81151fc756e9946

Soal 191

Sebuah sekolah menawarkan hadiah uang tunai kepada anak yang memiliki tingkat kehadiran dan ketepatan waktu yang baik. Jika mereka absen selama tiga hari berturut-turut, atau terlambat lebih dari satu kali, maka mereka akan kehilangan hadiah mereka.

Selama n-hari, sebuah tulisan tiga huruf dibentuk untuk setiap anak yang akan mempunyai arti L (late/terlambat), O (on time/tepat waktu), dan A (absen).

Terdapat delapan puluh satu macam kehadiran berbeda untuk kegiatan belajar mengajar selama 4 hari yang dapat dibentuk, dan empat puluh tiga di antaranya akan mengarahkan anak kepada hadiah:

OOOO OOOA OOOL OOAO OOAA OOAL OOLO OOLA OAOO OAOA
OAOL OAAO OAAL OALO OALA OLOO OLOA OLAO OLAA AOOO
AOOA AOOL AOAO AOAA AOAL AOLO AOLA AAOO AAOA AAOL
AALO AALA ALOO ALOA ALAO ALAA LOOO LOOA LOAO LOAA
LAOO LAOA LAAO

Berapa banyak kombinasi tulisan seperti di atas yang ada, yang akan mengarahkan anak untuk mendapatkan hadiah, namun untuk kegiatan belajar mengajar yang dilaksanakan selama 30-hari?

Answer: e04dfa598b22a87570f63063f3ff595d

Soal 192

Misalkan x adalah bilangan real.
Sebuah pendekatan terbaik untuk mencari x untuk batas penyebut d, adalah sebuah bilangan rasional r/s dalam bentuk paling sederhana, dengan s ≤ d, sehingga semua bilangan rasional yang lebih dekat kepada x dibanding r/s akan memiliki penyebut lebih besar daripada d:

Sebagai contoh, pendekatan terbaik √13 untuk batas penyebut 20 adalah 18/5, dan pendekatan terbaik √13 untuk batas penyebut 30 adalah 101/28.

Carilah jumlah semua penyebut yang merupakan pendekatan terbaik untuk √n, untuk batas penyebut 10¹², dimana n adalah bilangan yang bukan merupakan kuadrat sempurna, dan 1 < n ≤ 100000.

Answer: e5ec7d4b094709b1fcebbd73b10e6264

Soal 193

Sebuah bilangan bulat positif n disebut sebagai bilangan squarefree, jika tidak ada bilangan prima kuadrat yang dapat habis membagi n, sehingga 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 semuanya adalah bilangan squarefree, tapi tidak dengan 4, 8, 9, 12.

Berapa banyak bilangan squarefree yang kurang dari 2⁵⁰?

Answer: ea29fcf755b560777b0b6d8714234d18

Soal 194

Terdapat gambar yang dibuat dengan unit A: dan unit B: , dimana setiap unit ditempelkan satu sama lain pada garis vertikalnya seperti pada gambar:

Sebuah susunan dengan tipe (a,b,c) adalah gambar yang dibuat dengan a buah unit A dan b buah unit B, dimana titik-titik pada setiap gambar diwarnai menggunakan c buah warna, sehingga tidak ada dua titik bersebelahan yang mempunyai warna yang sama.
Gambar gabungan di atas merupakan salah satu contoh dari konfigurasi tipe (2,2,6), pada kenyataannya terdapat tipe (2,2,c) untuk c ≥ 4.

N(a,b,c) adalah banyaknya konfigurasi tipe (a,b,c) yang bisa dibentuk.
Sebagai contoh, N(1,0,3) = 24, N(0,2,4) = 92928 dan N(2,2,3) = 20736.

Carilah 8 angka terakhir dari N(25,75,1984).

Answer: e070561d568a80a0e45d7835e3817ba4

Soal 195

Terdapat suatu segitiga dengan panjang sisi yang merupakan bilangan bulat, dan persis satu buah sudut bernilai 60 derajat, segitiga ini akan kita sebut sebagai segitiga 60-derajat.
Misalkan r adalah panjang jari-jari lingkaran dalam suatu segitiga 60-derajat.

Terdapat 1234 buah segitiga 60-derajat yang r ≤ 100.
Sedangkan T(n) adalah banyaknya segitiga 60-derajat dimana r ≤ n, sehingga
T(100) = 1234,  T(1000) = 22767, dan  T(10000) = 359912.

Carilah T(1053779).

Answer: 0fe232937a6d9f2a40825b86f568a38c

Soal 196

Kita akan membuat sebuah segitigad dari bilangan bulat positif dengan aturan sebagai berikut:

 1
 2  3
 4  5  6
 7  8  9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
. . .

Setiap bilangan pada segitiga tersebut bisa memiliki bilangan yang bersebelahan sampai delapan buah.

Sebuah himpunan tiga bilangan prima akan disebut triplet prime apabila salah satu dari ketiga bilangan prima tersebut bersebelahan dengan kedua bilangan prima lainnya pada segitiga di atas.

Sebagai contoh, pada baris kedua, bilangan prima 2 dan 3 adalah bagian dari suatu triplet prima.

Jika kita memperhatikan baris 8, baris ini berisi dua bilangan prima yang merupakan bagian dari suatu triplet prima lain, yaitu 29 dan 31.
Jika kita memperhatikan baris 9, terdapat hanya satu buah prima yang akan menjadi anggota triplet prima: 37.

Diketahui S(n) adalah jumlah semua bilangan prima yang merupakan anggota triplet prima pada baris ke-n.
Maka S(8)=60 dan S(9)=37.

Diketahui S(10000)=950007619.

Carilah  S(5678027) + S(7208785).

Answer: fb6b6b0a4b7b31ba429152bc0b6bd037

Soal 197

Diberikan sebuah fungsi f(x) = ⌊2^{30.403243784-x2}⌋ × 10^-9 ( ⌊ ⌋ adalah lambang yang berarti bilangan akan dibulatkan ke bawah),
barisan u_n dibentuk dengan u₀ = -1 dan u_n+1 = f(u_n).

Carilah u_n + u_n+1 untuk n = 10¹².
Berikan jawaban anda sampai 9 angka di belakang koma.

Answer: c98cbf87636906f2465d481be815e454

Soal 198

Cara pendekatan terbaik untuk suatu bilangan real x untuk batas penyebut d adalah bilangan rasional r/s (dalam bentuk paling sederhana) dengan s ≤ d, sehingga semua bilangan rasional p/q yang lebih dekat ke x daripada ke r/s akan mempunyai q > d.

Biasanya, cara pendekatan terbaik untuk suatu bilangan real ditentukan oleh besarnya batasan penyebut. Tetapi, terdapat beberapa pengecualian, seperti 9/40, yang mempunyai dua hasil pendekatan terbaik 1/4 dan 1/5 untuk batas penyebut 6. Kita akan menyebut semua bilangan real x sebagai bilangan yang ambigu, apabila terdapat dua hasil pendekatan terbaik x untuk setidaknya satu batas penyebut. Jelas bahwa bilangan ambigu harus merupakan bilangan rasional.

Berapakah banyaknya cara bilangan ambigu x = p/q, 0 < x < 1/100, yang penyebut qnya tidak melebihi 10⁸?

Answer: e59816f440fec9368c681314a127f3ee

Soal 199

Tiga lingkaran dengan jari-jari sama diletakan dalam suatu lingkaran besar, sehingga setiap lingkaran akan saling menyinggung satu sama lain, dan lingkaran yang ada di dalam tidak saling menumpuk satu sama lain. terdapat empat daerah yang masih belum ditutupi, yang akan di isi lagi secara berulang-ulang dengan lingkaran yang juga saling menyinggung lingkaran lainnya.

Pada setiap iterasi, lubang akan di isi dengan sebuah lingkaran sebesar mungkin, dimana setelah lingkaran tersebut diletakkan, akan muncul lubang baru lagi untuk iterasi selanjutnya. Setelah 3 iterasi (seperti pada gambar), terdapat sebanyak 108 lubang dan perbandingan luas lubang dengan luas keseluruhan adalah 0.06790342, dibulatkan sampai delapan angka di belakang koma.

Berapakah perbandingan luas lubang dengan luas keseluruhan setelah 10 kali iterasi?
Berikan jawaban anda yang telah dibulatkan hingga delapan angka di belakang koma, dengan menggunakan format x.xxxxxxxx .

Answer: 0f8fd87159c28ae5fea6ac91a95d48dd

Soal 200

Sqube adalah sebuah bilangan dengan bentuk, p²q³, dimana p dan q adalah bilangan prima berbeda.
Sebagai contoh, 200 = 5²2³ atau 120072949 = 23²61³.

Lima bilangan sqube pertama adalah 72, 108, 200, 392, dan 500.

Menariknya, 200 juga merupakan bilangan pertama yang tidak bisa kita buat menjadi bilangan prima apabila salah satu angkanya diganti; bilangan seperti ini akan kita sebut bilangan kebal-prima. Bilangan kebal-prima selanjutnya yang juga merupakan bilangan sqube, dan memiliki angka "200" di dalamnya adalah 1992008.

XCarilah bilangan ke-200 yang kebal-prima, yang juga merupakan bilangan sqube, yang berisi angka "200" di dalamnya.

Answer: c911c8e346aa813da5f5ed4f8e9128d8

Soal 201

Untuk setiap himpunan berisi A buah bilangan, sum(A) adalah hasil penjumlahan dari elemen-elemen A.
Misalkan terdapat himpunan B = {1,3,6,8,10,11}.
Terdapat 20 himpunan bagian yang memiliki tiga anggota, dan jumlah mereka adalah:

sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.

Beberapa himpunan bagian menghasilkan jumlah yang sama, dan beberapa menghasilkan hasil yang unik.
Untuk himpunan A, U(A,k) adalah himpunan dari hasil penjumlahan unik untuk k-buah anggota himpunan bagian A, pada contoh kami di atas, kami menemukan U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29} dan sum(U(B,3)) = 156.

Sekarang misalkan terdapat himpunan S dengan 100-buah anggota S = {1², 2², ... , 100²}.
S mempunyai 100891344545564193334812497256 himpunan bagian dengan 50-buah anggota.

Tentukan hasil penjumlahan semua bilangan bulat, pada himpunan bagian dari S yang memiliki 50-buah anggota, atau dapat ditulis sum(U(S,50)).

Answer: b7ad07c58c81a940b8ff067a13b2760d

Soal 202

Tiga cermin disusun untuk membentuk sebuah segitiga sama sisi, dengan sisi yang memantulkan cahanyanya diletakkan di sebelah dalam. Terdapat tak hingga buah celah kecil pada setiap titik sudut segitiga, yang memungkinkan sinar laser untuk masuk.

Jika titik sudut diberi label A, B dan C. Terdapat 2 cara untuk sinar laser dapat memasuki titik C, memantul di dalam 11 kali, kemudian keluar ke titik y ang sama: salah satu caranya ditunjukkan pada gambar berikut; cara satunya lagi adalah kebalikan dari cara ini.

Terdapat 80840 cara untuk sinar laser dapat memasuki titik C, memantul 1000001 kali, kemudian keluar melalui titik yang sama.

Dengan berapa cara sinar laser dapat masuk melalui titik C, memantul 12017639147 kali, kemudian keluar melalui titik yang sama?

Answer: e9774949b5efad0d40d60ede379c5321

Soal 203

Koefisien binomial ⁿC_k dapat disusun dalam bentuk segitiga, dan hasilnya sama dengan segitiga Pascal, seperti ini:

Dapat terlihat bahwa delapan baris pertama pada segitiga Pascal berisi dua belas buah angka berbeda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 dan 35.

Sebuah bilangan bulat positif n disebut sebagai bilangan squarefree, jika tidak ada bilangan prima kuadrat yang dapat membagi habis n. Dari kedua belas bilangan berbeda pada delapan baris pertama segitiga Pascal, semua bilangan kecuali 4 dan 20 adalah bilangan squarefree. Jumlah dari semua bilangan squarefree berbeda pada delapan baris pertama adalah 105.

Carilah jumlah semua bilangan squarefree berbeda pada 51 baris pertama segitiga Pascal.

Answer: d7ec16d216c923d3c927f46cfc914e92

Soal 204

Bilangan Hamming adalah sebuah bilangan positif, yang faktor primanya tidak ada yang lebih besar dari 5.
Sehingga, beberapa bilangan Hamming pertama adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15.
Terdapat 1105 bilangan Hamming yang tidak melebihi 10⁸.

Kita akan menyebut suatu bilangan positif sebagai bilangan Hamming tergeneralisasi dengan tipe n, apabila bilangan tersebut tidak mempunyai faktor prima lebih besar dari n.
Sehingga, bilangan Hamming biasa sebenarnya adalah merupakan bilangan Hamming tergeneralisasi dengan tipe 5.

Berapa banyak bilangan Hamming tergeneralisasi dengan tipe 100, yang tidak melebihi 10⁹?

Answer: 4118ffb9edc56a033b5b27ca0bf34366

Soal 205

Peter mempunyai sembilan buah dadu bersisi empat (berbentuk piramidal), setiap sisi dadu diberi angka 1, 2, 3, 4.
Colin mempunyai enam buah dadu bersisi enam (berbentuk kubus), setiap sisi dadu diberi angka 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Peter dan Colin memutar dadu mereka, dan membandingkan hasil penjumlahannya: yang memiliki jumlah lebih besar akan menang. Hasil akan dianggap seri apabila hasil penjumlahan dari keduanya sama.

Berapakah peluang dadu piramidal milik Peter mengalahkan dadu kubus milik Colin? Berikan jawaban Anda sampai tujuh angka di belakang koma dengan format 0.abcdefg

Answer: ba6c6c3888227a0799eca38191b587be

Soal 206

Carilah bilangan bulat positif unik, yang kuadratnya memiliki bentuk 12_3_4_5_6_7_8_9_0,
dimana setiap tanda “” merupakan sebuah angka.

Answer: 09f9d87cb4b1ebb34e1f607e55a351d8

Soal 207

Untuk beberapa bilangan bulat positif k, terdapat sebuah partisi bilangan bulat dengan bentuk    4^t = 2^t + k,
dimana 4^t, 2^t, dan k semuanya merupakan bilangan bulat positif, dan t adalah bilangan real.

Contoh dua partisi pertama adalah 4¹ = 2¹ + 2 dan 4^1.5849625... = 2^1.5849625... + 6.

Partisi dimana t nya juga merupakan bilangan bulat disebut sempurna.
Untuk setiap m ≥ 1, P(m) adalah peluang suatu partisi adalah sempurna, dengan k ≤ m.
Sehingga P(6) = 1/2.

Pada tabel berikut ini akan didaftarkan beberapa kemungkinan untuk P(m)

   P(5) = 1/1
   P(10) = 1/2
   P(15) = 2/3
   P(20) = 1/2
   P(25) = 1/2
   P(30) = 2/5
   ...
   P(180) = 1/4
   P(185) = 3/13

Carilah nilai m terkecil, dimana P(m) < 1/12345

Answer: 3f17b264ed1717fe5fbde1e399bd501f

Soal 208

Sebuah robot bergerak dengan jalur satu per lima busur lingkaran (72°), dengan bebas memilih arah putaran, apakah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam pada setiap langkahnya, namun tidak boleh berputar saat diam di tempat.

Salah satu dari 70932 jalur tertutup yang dibentuk dari 25 busur dimulai dari utara adalah

Diketahui bahwa robot mula-mula menghadap utara, berapa banyak jalur tertutup yang dapat dibuat, dengan 70 buah busur (70 kali berjalan), sehingga setelah langkah terakhir robot, robot tersebut akan kembali ke titik awalnya?
(Setiap busur dan titik mulai boleh dilewati berkali-kali.)

Answer: 3010e33173f30e0aac79e84835b48823

Soal 209

Sebuah tabel kebenaran biner dengan k-buah input, didapatkan dengan memetakan k-buah input biner (angka biner, 0 [salah] atau 1 [benar]) menjadi 1 buah output biner. Sebagai contoh, tabel kebenaran biner dengan 2-buah input, untuk operasi logika AND dan XOR adalah:

Berapa banyak hasil dari tabel kebenaran biner dengan 6-buah input τ, yang memenuhi

Untuk semua 6-buah input biner (a, b, c, d, e, f)?

Answer: 954157aa4762df2ee29580ee5a351b13

Soal 210

Terdapat himpunan S(r) berisi titik (x,y) dengan koordinat yang berupa bilangan bulat yang memenuhi |x| + |y| ≤ r.
Misalkan titk O memiliki koordinat (0,0) dan titik C memiliki koordinat (r/4,r/4).
Misalkan N(r) adalah banyaknya titik B pada S(r), sehingga segitiga OBC memiliki sudut tumpul, yaitu sudut α yang memenuhi 90° < α < 180° Sebagai contoh, N(4)=24 dan N(8)=100.

Berapakah N(1,000,000,000)?

Answer: 0c808b02789c4db462322ab2ac070bbb

Soal 211

Untuk bilangan bulat positif n, σ₂(n) adalah hasil penjumlahan dari kuadrat pembagi habisnya. Sebagai contoh,

Carilah hasil penjumlahan untuk semua n, 0 < n < 64,000,000 yang σ₂(n) adalah kuadrat sempurna.

Answer: 5fe0ed146690e7bca448687a94353a73

Soal 212

Sebuah kubus sejajar sumbu, memiliki parameter { (x₀,y₀,z₀), (dx,dy,dz) }, untuk semua titik (X,Y,Z) yang memenuhi x₀ ≤ X ≤ x₀+dx, y₀ ≤ Y ≤ y₀+dy dan z₀ ≤ Z ≤ z₀+dz. Volume dari kubus bisa didapat dengan hasil perkalian, dx × dy × dz. Sedangkan volume gabungan dari sekumpulan kubus didapat dengan cara menggabungkan semua kubus, dan dapat bernilai lebih kecil dibandingkan dengan jika kita menghitung volume kubus satu per satu, karena bisa saja terdapat kubus yang saling tumpang tindih (overlap).

Misalkan C₁,...,C₅₀₀₀₀ adalah kumpulan 50000 buah kubus yang sejajar sumbu, sehingga C_n mempunyai parameter

x₀ = S_6n-5 modulo 10000
y₀ = S_6n-4 modulo 10000
z₀ = S_6n-3 modulo 10000
dx = 1 + (S_6n-2 modulo 399)
dy = 1 + (S_6n-1 modulo 399)
dz = 1 + (S_6n modulo 399)

dimana S₁,...,S₃₀₀₀₀₀ muncul dari "Lagged Fibonacci Generator":

Untuk 1 ≤ k ≤ 55, S_k = [100003 - 200003k + 300007k³]   (modulo 1000000)
Untuk 56 ≤ k, S_k = [S_k-24 + S_k-55]   (modulo 1000000)

Sehingga, C₁ memiliki parameter {(7,53,183),(94,369,56)}, C₂ memiliki parameter {(2383,3563,5079),(42,212,344)}, dan seterusnya.

Volume gabungan dari 100 kubus pertama, C₁,...,C₁₀₀, adalah 723581599.

Berapakah volume gabungan dari semua 50000 buah kubus tersebut, C₁,...,C₅₀₀₀₀ ?

Answer: 76650c9c077929e1ce5a80a1ac81fa96

Soal 213

Sebuah kotak-kotak berukuran 30×30 berisi 900 kutu, pada mulanya, satu kutu di tiap kotak.
Saat lonceng berbunyi, setiap kutu akan melompat ke kotak di sebelahnya secara acak (biasanya terdapat 4 kemungkinan arah, kecuali untuk kutu yang ada di pojok kotak-kotak).

Berapakah nilai harapan banyaknya kotak yang kosong setelah lonceng dibunyikan 50 kali? Berikan jawaban Anda yang telah dibulatkan hingga enam angka di belakang koma.

Answer: f81ee7dd444a3d895a4a446f9d115bf8

Soal 214

Misalkan φ adalah fungsi Totient Euler, sehingga untuk bilangan asli n, φ(n) adalah banyaknya bilangan k, 1 ≤ k ≤ n, dimana FPB(k,n) = 1.

Dengan mengulang-ulang fungsi φ, semua bilangan bulat positif akan berkurang terus menerus hingga mencapai 1.
Sebagai contoh, jika kita memulai fungsi dengan bilangan 5, maka rantai 5,4,2,1 akan terbentuk.
Berikut ini adalah daftar dari semua rantai dengan panjang 4:

Hanya dua dari rantai-rantai tersebut yang dimulai oleh bilangan prima, hasil penjumlahan kedua bilangan prima tersebut adalah 12.

Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan prima kurang dari 40000000, yang akan menghasilkan rantai seperti di atas dengan panjang 25?

Answer: 1cefd865483c03552d5247ffb05685c7

Soal 215

Kita akan mengamati masalah membangun dinding, jika disediakan batu bata berukuran 2×1 dan 3×1 (Ukuran horizontal×vertikal), untuk kekuatan ekstra, celah antara dua baris batu bata tidak pernah membentuk garis lurus, atau dapat juga disebut tidak pernah terbentuk "running crack".

Sebagai contoh, tembok berukuran 9×3 berikut ini tidak diperbolehkan, karena adanya garis lurus (running crack) yang ditunjukkan dengan garis merah:

Terdapat delapan cara untuk membangun dinding berukuran 9×3 yang bebas garis lurus (running crack), dan dapat dituliskan W(9,3) = 8.

Hitunglah W(32,10).

Answer: 60212c9ec4a6cd1d14277c32b6adf2d8

Soal 216

Terdapat bilangan t(n) dengan bentuk t(n) = 2n²-1 dengan n > 1.
Beberapa bilangan pertama dari bentuk di atas adalah 7, 17, 31, 49, 71, 97, 127 dan 161.
Ditemukan bahwa hanya 49 = 7*7 dan 161 = 7*23 yang bukan merupakan bilangan prima.
Untuk n ≤ 10000 terdapat sebanyak 2202 bilangan t(n) yang merupakan bilangan prima.

Berapakah banyaknya bilangan t(n) yang prima, untuk n ≤ 50,000,000 ?

Answer: e512153424a482deb9de401ac0465a72

Soal 217

Sebuah bilangan bulat positif dengan k-angka, disebut seimbang apabila hasil penjumlahan ⌈^k/₂⌉-angka pertama sama dengan hasil penjumlahan ⌈^k/₂⌉-angka terakhir, dimana ⌈x⌉, adalah hasil pembulatan ke atas dari x, sehingga ⌈π⌉ = 4 dan ⌈5⌉ = 5.

Sebagai contoh, semua bilangan palindrom adalah bilangan seimbang, contoh lainnya adalah 13722.

T(n) adalah jumlah semua bilangan seimbang yang kurang dari 10ⁿ.
Sehingga: T(1) = 45, T(2) = 540 dan T(5) = 334795890.

Carilah T(47) mod 3¹⁵

Answer: 11bff97aac06892e1a07ebf7febfa8db

Soal 218

Misalkan terdapat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a=7, b=24 dan c=25. Luas segitiga ini adalah 84, yang habis dibagi dengan bilangan sempurna 6 dan 28.
Selanjutnya, segitiga ini adalah segitiga siku-siku primitif, karena FPB(a,b)=1 dan FPB(b,c)=1.
Serta c merupakan bilangan kuadrat sempurna.

Kita akan menyebut suatu segitiga siku-siku sempurna apabila
-segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku primitif
-hipotenusanya adalah bilangan kuadrat sempurna

Kita akan menyebut sebuah segitiga siku-siku sangat sempurna apabila
-segitiga tersebut merupakan segitiga sempurna, dan
-luasnya kelipatan bilangan sempurna 6 dan 28.

Berapa banyak segitiga siku-siku yang bukan merupakan segitiga siku-siku sangat sempurna, dengan c≤10¹⁶?

Answer: cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da

Soal 219

A dan B merupakan string biner (hanya berisi angka 0 dan 1).
Jika A sama dengan bagian paling kiri sepanjang length(A) bit dari B, maka A dapat disebut sebagai prefix dari B.
Sebagai contoh, 00110 adalah prefix dari 001101001, tapi bukan prefix dari 00111 atau 100110.

Sebuah kode bebas prefix dengan ukuran n adalah kumpulan n buah string biner berbeda, sehingga tidak ada string yang merupakan prefix string lainnya. Sebagai contoh, ini adalah sebuah kode bebas prefix dengan ukuran 6:

0000, 0001, 001, 01, 10, 11

Sekarang misalkan kita perlu membayar satu penny untuk mengirimkan sebuah bit '0', namun perlu empat penny untuk mengirimkan sebuah bit '1'.
Maka total biaya yang diperlukan pada kode bebas prefix di atas adalah 35 penny, yang merupakan kemungkinan biaya paling murah untuk pertanyaan ini.
Secara singkat, kita akan menulis biaya dengan cara Cost(6) = 35.

Berapakah Cost(10⁹) ?

Answer: 578c22ef288b88c60fbcf4541351aff5

Soal 220

D₀ adalah string berisi dua karakter "Fa". Sedangkan untuk n≥1, kita harus menurunkan D_n dari D_n-1 dengan aturan penulisan string:

"a" → "aRbFR"
"b" → "LFaLb"

Sehingga, D₀ = "Fa", D₁ = "FaRbFR", D₂ = "FaRbFRRLFaLbFR", dan seterusnya.

String tersebut dapat di artikan sebagai suatu perintah pada aplikasi pembuat gambar di komputer, dengan "F" berarti "gambar garis ke depan satu satuan", "L" berarti "berputar ke kiri 90 derajat", "R" berarti "berputar ke kanan 90 derajat", dan "a" serta "b" diabaikan. Posisi awal kursor komputer adalah (0,0), dan menghadap ke atas, ke arah (0,1).

Lalu D_n akan membentuk suatu gambar menarik yang dikenal sebagai Heighway Dragon dengan orde n. Sebagai contoh, D₁₀ ditunjukan pada gambar berikut; dengan menghitung setiap huruf "F" sebagai satu langkah, titik (18,16) yang di tandai tersebut bisa dicapai setelah berjalan 500 langkah.

Dimanakan posisi kursor setelah 10¹² langkah di D₅₀ ?
Berikan jawaban Anda dengan format x,y tanpa spasi.

Answer: e2018d8efde8ea00319f1adc042f150b

Soal 221

Kita akan menyebut sebuah bilangan bulat positif A sebagai "bilangan bulat Alexandrian", apabila terdapat bilangan bulat p, q, r yang memenuhi:

Sebagai contoh, 630 adalah sebuah bilangan bulat Alexandrian (p = 5, q = −7, r = −18). Kenyataannya, 630 adalah bilangan bulat Alexandrian ke-6, 6 bilangan bulat Alexandrian pertama adalah: 6, 42, 120, 156, 420 and 630.

Carilah bilangan bulat Alexandrian ke-150000.

Answer: cb000c24f653d9c8f78b74123e6515ab

Soal 222

Berapakah panjang pipa terpendek, yang memiliki jari-jari dalam 50mm, yang bisa menampung 21 buah bola dengan jari-jari 30mm, 31mm, ..., 50mm?

Berikan jawaban anda dalam satuan mikrometer (10^-6 m) dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.

Answer: 6984ba429b968467619ec98a8ee51abf

Soal 223

Terdapat segitiga yang memiliki panjang sisi berupa bilangan bulat, dengan panjang sisi a ≤ b ≤ c, segitiga ini akan disebut segitiga hampir lancip, apabila sisi-sisinya memenuhi
a² + b² = c² + 1.

Berapa banyak segitiga hampir lancip yang memiliki keliling ≤ 25,000,000?

Answer: cb875e59736a1967c8da8fc8062a6bc5

Soal 224

Sebuah segitiga yang mempunyai panjang sisi a ≤ b ≤ c dapat disebut segitiga hampir tumpul, jika sisi-sisinya memenuhi
a² + b² = c² - 1.

Berapa banyak segitiga hampir tumpul yang memiliki keliling ≤ 75,000,000?

Answer: c43cfb12750dee27b4b0d016261e831b

Soal 225

Barisan 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ...
dibentuk dengan T₁ = T₂ = T₃ = 1 dan T_n = T_n-1 + T_n-2 + T_n-3.

Dapat terlihat bahwa 27 tidak dapat membagi suku manapun dalam barisan ini.
Bahkan, 27 adalah bilangan ganjil pertama yang memiliki sifat ini.

Carilah bilangan ganjil ke-124, yang tidak dapat membagi suku manapun dalam barisan di atas.

Answer: f1981e4bd8a0d6d8462016d2fc6276b3

Soal 226

Kurva blancmange adalah kumpulan titik (x,y) yang memenuhi 0 ≤ x ≤ 1 dan ,
dimana s(x) = adalah selisih antara x dengan bilangan bulat terdekat.

Luas di bawah kurva blancmange sama dengan ½, yang ditunjukkan dengan warna pink pada diagram berikut.

Misalkan C adalah sebuah lingkaran dengan pusat (¼,&frac12) dan jari-jari ¼, yang ditunjukkan dengan warna hitam pada diagram di atas.

Berapakah luas daerah di bawah kurva blancmange, yang dibatasi oleh C?
Berikan jawaban Anda yang telah dibulatkan menjadi delapan angka di belakang koma, dengan format 0.abcdefgh

Answer: ce6fd32d1d2fb58c4c0c1f7962c39f04

Soal 227

“The Chase” adalah sebuah permainan yang menggunakan dua buah dadu, dan dimainkan oleh pemain yang berjumlah genap.

Para pemain duduk di sekitar sebuah meja; permainan dimulai dengan dua pemain yang saling bersebrangan masing-masing memegang sebuah dadu. Pada setiap giliran, kedua pemain akan melempar dadu tersebut.
Jika pemain berhasil mengeluarkan angka 1, ia harus memberikan dadu ke orang di sebelah kirinya; jika ia mberhasil mengeluarkan angka 6, ia haurs memberikan dadu ke orang di sebelah kananya; selain itu, ia harus tetap memegang dadu sampai giliran selanjutnya.
Permainan berakhir saat ada satu pemain yang memiliki dua buah dadu, setelah dadu dilempar dan diserahkan satu sama lain; pemain tersebut kemudian dianggap kalah.

Jika permainan dimainkan oleh 100 orang, berapakah perkiraan banyaknya giliran yang terjadi hingga permainan berakhir??

Berikan jawaban anda yang dibulatkan sebesar sepuluh angka.

Answer: 7b87cd0a96f0f2f12f911cdc66608d95

Soal 228

S_n adalah bangun berjumlah sisi n yang memiliki titik sudut v_k (k = 1,2,…,n) have coordinates:

Setiap S_n akan dianggap memiliki bagian sebelah dalam keliling yang terisi penuh.

Hasil penjumlahan Minkowski S+T, dari dua buah bangun S dan T bisa didapat dengan cara menjumlahkan setiap titik di S kepada setiap titik di T, sesuai dengan koordinat masing-masing: (u, v) + (x, y) = (u+x, v+y).

Sebagai contoh, hasil penjumlahan dari S₃ dan S₄ adalah bangun dengan enam sisi bewarna pink berikut:

Berapakah banyaknya sisi yang dimiliki oleh S₁₈₆₄ + S₁₈₆₅ + … + S₁₉₀₉?

Answer: 35d0195ddaf58e52e12400de1c9333d8

Soal 229

Perhatikan bilangan 3600. Bilangan ini sangat istimewa, karena

Dengan cara yang sama, kita dapat menebukan bahwa 88201 = 99² + 280² = 287² + 2×54² = 283² + 3×52² = 197² + 7×84².

Pada tahun 1747, Euler membuktikan bahwa terdapat bilangan yang dapat direpresentasikan dengan penjumlahan dua bilangan kuadrat. Kita akan memperhatikan bilangan n yang bisa memenuhi keempat tipe representasi berikut ini:

dimana a_k dan b_k adalah bilangan bulat positif.

Terdapat 75373 buah bilangan seperti di atas yang tidak melebihi 10⁷.
Berapa banyak bilangan yang kurang dari 2×10⁹?

Answer: d68b5ec8df4a56991901f67afbdef24f

Soal 230

Untuk dua buah string berisi angka-angka A dan B, kita akan menyatakan F_A,B sebagai barisan (A,B,AB,BAB,ABBAB,...), setiap suku didapat dengan cara menggabungkan dua buah suku sebelumnya.

lebih jauh lagi, kita nyatakan D_A,B(n) sebagai angka ke-n pada suku pertama dari F_A,B yang memiliki setidaknya n buah angka.

Contoh:

Misalkan A=1415926535, B=8979323846. Kita akan mencari D_A,B(35).

Beberapa suku pertama dari F_A,B adalah:
1415926535
8979323846
14159265358979323846
897932384614159265358979323846
14159265358979323846897932384614159265358979323846

Maka D_A,B(35) adalah angka ke-35 pada suku ke lima, yaitu 9.

Sekarang kita akan mengganti A dengan 100 buah angka di belakang koma dari π:

14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679

dan B diganti dengan 100 buah angka setelahnya lagi:

82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196 .

Carilah ∑_{n = 0,1,...,17}   10ⁿ× D_A,B((127+19n)×7ⁿ) .

Answer: 040735038021ff4704bbd3a0964369ef

Soal 231

Koefisien binomial ¹⁰C₃ = 120.
120 = 2³ × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5, dan 2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 14.
Sehingga, hasil penjumlahan dari faktor-faktor prima ¹⁰C₃ adalah 14.

Carilah hasil penjumlahan dari faktor-faktor prima ^20000000C_15000000.

Answer: ef8bc4d9a843e71126bd10b5065132a5

Soal 232

Dua pemain akan menggunakan sebuah koin yang sama, dan menggunakannya secara bergantian untuk bermain "balapan". Pada giliran permain pertama, ia melempar koin sekali: jika muncul gambar kepala, ia mendapatkan satu nilai; jika muncul gambar ekor, ia tidak mendapatkan nilai. Pada giliran pemain kedua, ia harus terlebih dahulu memilih sebuah bilangan bulat positif T, dan kemudian melempar koin sebanyak T kali: Jika pada semua lemparan muncul gambar kepala, ia mendapatkan nilai 2^T-1; selain itu, ia tidak mendaptkan nilai. Pemain pertama memulai giliran pertama kali. Pemenangnya adalah pemain yang terlebih dahulu mencapai nilai 100 atau lebih.

Pada setiap giliran pemain kedua akan selalu memilih bilangan T, yang membuatnya mempunyai peluang sebesar mungkin untuk menang.

Berapakah peluang pemain 2 menang?

Berikan jawaban Anda dengan dibulatkan sampai delapan angka di belakang koma, dengan format 0.abcdefgh .

Answer: c8d5b243aa6e6b507725766f7c197a1d

Soal 233

f(N) adalah banyaknya titik pada lingkaran yang koordinatnya adalah bilangan bulat, di lingkaran yang melalui (0,0), (N,0),(0,N), dan (N,N).

Dapat dibuktikan bahwa\ f(10000) = 36.

Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif N ≤ 10¹¹ sehingga f(N) = 420 ?

Answer: 7e80b27798170abb493e3b4671bd82ca

Soal 234

Untuk bilangan bulat n ≥ 4, kita akan menyebut akar kuadrat prima bawah dari n, yang dilambangkan dengan lps(n), sebagai bilangan prima terbesar ≤ √n, dan akan menyebut akar kuadrat prima atas dari n, dengan lambang ups(n), sebagai bilangan prima terkecil ≥ √n.

Sebagai contoh, lps(4) = 2 = ups(4), lps(1000) = 31, ups(1000) = 37.
Kita akan menyebut bilangan bulat n ≥ 4 semidivisible, jika salah satu dari lps(n) dan ups(n) dapat membagi habis n, tetapi tidak keduanya.

Hasil penjumlahan dari bilangan semidivisible yang kurang dari 15 adalah 30, bilangan semidivisible lainnya adalah 8, 10 dan 12.
15 tidak disebut semidivisible karena ia merupakan kelipatan lps(15) = 3 dan ups(15) = 5.
Contoh lebih lanjut, hasil penjumlahan dari 92 bilangan semidivisible kurang dari 1000 adalah 34825.

Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan semidivisible yang kurang dari 999966663333 ?

Answer: c24a5d60f8ce5d04dec7466987c84d68

Soal 235

Diberikan barisan aritmatik-geometrik u(k) = (900-3k)r^k-1.
s(n) = Σ_k=1...nu(k).

Carilah nilai dari r yang memenuhi s(5000) = -600,000,000,000.

Berikan jawaban Anda dibulatkan 12 angka di belakang koma.

Answer: 41b13508789be1001308e065d4f83ea2

Soal 236

Supplier 'A' dan 'B' menyediakan sejumlah barang untuk keranjang parsel mewah:

Namun, para supplier mencoba sekuat tenaga untuk mengirimkan barang mereka dengan kondisi sempurna, tetapi selalu terdapat kerusakan yang terlihat.

Para supplier membandingkan performa mereka menggunakan dua cara statistik:

• Cara rata-rata kerusakan per lima produk, yaitu setiap supplier menghitung banyaknya barang rusak, lalu membagi dengan jumlah barang yang dikirimkan, untuk setiap lima buah barang yang masuk.
• Cara rata-rata kerusakan keseluruhan, yaitu setiap supplier menghitung banyaknya barang yang rusak dengan banyaknya barang yang dikirimkan oleh supplier tersebut, untuk keseluruhan barang.

Mengejutkannya, para supplier menemukan, bahwa semua hasil metode rata-rata kerusakan per lima produk lebih buruk (besar) untuk 'B' dibandingkan untuk 'A' dengan perbandingan nilai rata-rata m>1; namun jika menggunakan metode rata-rata kerusakan keseluruhan, perbandingan rata-ratanya akan bernilai lebih buruk untuk 'A' dibandingkan dengan 'B', juga dengan nilai perbandingan m.

Terdapat tiga puluh lima m>1 dimana kejadian mengejutkan seperti ini terjadi, kejadian dengan nilai perbandingan paling kecil adalah 1476/1475.

Berapakah kemungkinan terbesar dari m?
Berikan jawaban ada dalam pecahan yang paling sederhana, dengan format u/v.

Answer: 6e707fcffc510520d981ae16a29579bb

Soal 237

T(n) adalah banyaknya jalur pada papan permainan berukuran 4 × n yang memiliki aturan:

• Jalur harus dimulai dari pojok kiri atas.
• Jalur dapat dibuat dengan gerakan ke atas, bawah, kiri, atau kanan sebanyak satu kotak.
• Jalur harus melewati setiap kotak persis satu kali.
• Jalur harus berakhir di pojok kiri bawah.

Diagram berikut ini menunjukkan salah satu jalur dari papan berukuran 4 × 10:

T(10) adalah 2329. Berapakah T(10¹²) modulo 10⁸?

Answer: 0742988a3948491b15fb48e476c78a6a

Soal 238

Create a sequence of numbers using the “Blum Blum Shub” pseudo-random number generator:

                  s[0]   = 14025256
                  s[n+1] = s[n]^2 mod 20300713

Concatenate these numbers  s[0]s[1]s[2]… to create a string w of infinite length. Then, w = 14025256741014958470038053646…

For a positive integer k, if no substring of w exists with a sum of digits equal to k, p(k) is defined to be zero. If at least one substring of w exists with a sum of digits equal to k, we define p(k) = z, where z is the starting position of the earliest such substring.

For instance:

The substrings 1, 14, 1402, … with respective sums of digits equal to 1, 5, 7, … start at position 1, hence p(1) = p(5) = p(7) = … = 1.

The substrings 4, 402, 4025, … with respective sums of digits equal to 4, 6, 11, … start at position 2, hence p(4) = p(6) = p(11) = … = 2.

The substrings 02, 0252, … with respective sums of digits equal to 2, 9, … start at position 3, hence p(2) = p(9) = … = 3.

Note that substring 025 starting at position 3, has a sum of digits equal to 7, but there was an earlier substring (starting at position 1) with a sum of digits equal to 7, so p(7) = 1, not 3.

We can verify that, for 0 < k ≤ 10^3, ∑ p(k) = 4742.

Find ∑ p(k), for 0 < k ≤ 2·10^15.

Answer: 424ed6613a372ccb9a90dddb8961ca16

Soal 239

Satu set disk diberi nomor dari 1 hingga 100, dan diletakkan pada suatu barisan dengan urutan acak.

Berapakah peluang kita menemukan persis 22 buah disk dengan bilangan prima berpindah tempat dari posisi aslinya?
(Disk dengan bilangan non-prima berapapun boleh ditemukan baik pada tempat aslinya, atau bukan.)

Berikan jawaban Anda yang dibulatkan 12 angka di belakang koma dengan format 0.abcdefghijkl.

Answer: 451fd2b8c19fbfec650a5c4699f6ef6e

Soal 240

Terdapat 1111 cara untuk membuat lima buah dadu ber sisi 6 (sisinya diberi angka 1 sampai 6), untuk dapat diputar sehingga tiga dadu dengan nilai terbesar berjumlah 15. Beberapa contohnya adalah:

D₁,D₂,D₃,D₄,D₅ = 4,3,6,3,5
D₁,D₂,D₃,D₄,D₅ = 4,3,3,5,6
D₁,D₂,D₃,D₄,D₅ = 3,3,3,6,6
D₁,D₂,D₃,D₄,D₅ = 6,6,3,3,3

Berapa banyak cara untuk dua puluh buah dadu ber sisi 12 (sisinya diberi angka 1 sampai 12), dapat diputar untuk menghasilkan hasil penjumlahan sepuluh angka terbesar sama dengan 70?

Answer: cb31a3106db3876e77cd160664cd683e

Soal 241

Untuk bilangan bulat positif n, σ(n) adalah jumlah semua pembagi habis dari n, sehingga σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.

Bilangan sempurna, seperti yang mungkin sudah Anda ketahui, adalah bilangan dengan σ(n) = 2n.

Carilah hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif n ≤ 10¹⁸, dimana p(n) memiliki bentuk k + ¹⁄₂, dan dimana k adalah bilangan bulat.

Answer: 556bfef2cacd1eff8af9126c5c13dcbc

Soal 242

Diberikan himpunan {1,2,...,n}, kita nyatakan f(n,k) adalah banyaknya himpunan bagian dengan k-anggota, yang hasil penjumlahan anggota-anggotanya adalah bilangan ganjil. Sebagai contoh, f(5,3) = 4, semenjak himpunan {1,2,3,4,5} memiliki empat buah himpunan bagian dengan 3 anggota, dan yang memiliki hasil penjumlahan ganjil adalah: {1,2,4}, {1,3,5}, {2,3,4} and {2,4,5}.

Saat nilai n, k dan f(n,k) ketiga-tiganya adalah ganjil, dapat kita katakan bahwa mereka membuat
sebuah triplet ganjil [n,k,f(n,k)].

Terdapat persis lima triplet ganjil dengan n ≤ 10, yaitu:
[1,1,f(1,1) = 1], [5,1,f(5,1) = 3], [5,5,f(5,5) = 1], [9,1,f(9,1) = 5] dan [9,9,f(9,9) = 1].

Berapakah banyaknya triplet ganjil dengan n ≤ 10¹² ?

Answer: ba73cb75365ddca8f94a23e3fedfb6de

Soal 243

Sebuah pecahan positif yang pembilangnya kurang dari penyebutnya akan kita sebut sebagai pecahan layak.
Untuk setiap penyebut d, akan selalu ada d−1 buah pecahan layak; sebagai contoh, dengan d = 12:
¹/₁₂ , ²/₁₂ , ³/₁₂ , ⁴/₁₂ , ⁵/₁₂ , ⁶/₁₂ , ⁷/₁₂ , ⁸/₁₂ , ⁹/₁₂ , ¹⁰/₁₂ , ¹¹/₁₂ .

Kita akan menyebut pecahan yang tidak dapat disederhanakan lagi sebagai pecahan paling sederhana.
Lebih lanjut lagi, kita akan menyatakan ketahanan dari suatu penyebut, R(d), sebagai rasio dari pecahan paling sederhana dengan pecahan layak; sebagai contoh, R(12) = ⁴/₁₁ .
Kenyataannya, d = 12 adalah penyebut terkecil yang memiliki nilai ketahanan R(d) < ⁴/₁₀ .

Carilah bilangan penyebut d terkecil, yang memiliki nilai ketahanan R(d) < ¹⁵⁴⁹⁹/₉₄₇₄₄ .

Answer: 531721a10786c5c2a444b474fcf039f9

Soal 244

Anda mungkin telah mengetahui permainan Fifteen Puzzle. Disini, bukan menggunakan kotak bernomor, kita akan menggunakan tujuh kotak merah dan delapan kotak biru.

Sebuah gerakan dilambangkan dengan huruf kapital dari arah yang di inginkan (Left/Kiri, Right/Kanan, Up/Atas, Down/Bawah), yang akan melambangkan arah kotak bergeser untuk mengisi kotak kosong, sebagai contoh, dimulai dari konfigurasi (S), dengan urutan LULUR kita akan mencapai konfigurasi (E):

(S)

, (E)

Untuk setiap jalan, nilai checksum dapat dihitung dengan:

Untuk urutan LULUR di atas, nilai chekcsum yang ada adalah 19761398.

Sekarang, dimulai dengan konfigurasi (S), carilah semua jalur terpendek untuk mencapai konfigurasi (T).

(S)

, (T)

Berapakah hasil penjumlahan dari semua checksums untuk jalur yang memiliki jarak terpendek?

Answer: f8fd502ec1d0084a79d43d9dc5bd3a3d

Soal 245

Kita akan menyebut pecahan yang sudah tidak bisa disederhanakan lagi sebagai pecahan resilient.
Lebih lanjut lagi, kita akan menyatakan nilai resilience dari suatu penyebut dengan R(d), sebagai perbandingan dari semua pecahan kurang dari 1 dengan penyebut d yang sudah tidak bisa disederhanakan lagi, dengan banyaknya pecahan yang ada; sebagai contoh, R(12) = ⁴⁄₁₁.

Carilah hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat komposit 1 < n ≤ 2×10¹¹, dimana C(n) adalah pecahan dengan pembilang 1.

Answer: 0ebeb502fb0bd7157609835d27c266bc

Soal 246

Definisi dari elips adalah:
Diberikan lingkaran c dengan pusat M dan jari-jari r dan sebuah titik G yang memenuhi d(G,M)<r, lokus dari semua titik yang sama panjangnya dari c dan G akan membentuk elips.

Pembentukkan titik-titik pada elips ditunjukkan pada gambar berikut. </p>

Diketahui terdapat titik M(-2000,1500) dan G(8000,1500).
Diketahui juga bahwa lingkaran c memiliki pusat M dan berjari-jari 15000.
Lokus dari titik-titik yang memiliki panjang yang sama dari G dan c akan membentuk elips e.
Dari titik P di luar e, digambar dua buah garis singgung elips t₁ dan t₂.
Titik dimana t₁ dan t₂ menyentuh elips adalah R dan S.

Berapa banyak titik potong P memiliki sudut RPS lebih besar dari 45 derajat?

Answer: 94c521ffeb906391d161b66fec433827

Soal 247

Perhatikan daerah yang dibatasi oleh 1 ≤ x dan 0 ≤ y ≤ ¹/_x.

S₁ adalah persegi terbesar yang bisa muat di bawah kurva.
S₂ adalah persegi terbesar yang bisa muat diletakkan di daerah sisanya, dan seterusnya.
indeks dari S_n berupa pasangan bilangan (kiri, bawah), menandakan banyaknya persegi di sebelah kiri dari S_n dan banyaknya persegi di bawah S_n.

Diagram di atas menunjukkan beberapa persegi sesuai dengan aturan di atas, yang diberi nomor.
Pada S₂ terdapat satu persegi di sebelah kirinya, dan tidak ada persegi di bawahnya, sehingga indeks dari S₂ adalah (1,0).
Dapat terlihat bahwa indeks dari persegi S₃₂ adalah (1,1), dan sama seperti indeks dari persegi S₅₀.
50 adalah nilai n terbesar yang indeks dari persegi S_n bernilai (1,1).

Berapakah nilai n terbesar, yang memiliki indeks persegi S_n bernilai (3,3)?

Answer: 257956694e7665e3d512ad5b819ef79d

Soal 248

Bilangan n pertama yang menghasilkan φ(n)=13! adalah 6227180929.

Carilah bilangan ke-150,000 yang juga seperti itu.

Answer: b69a3ba674f6c7c5f2ce244f9e9cc873

Soal 249

S = {2, 3, 5, ..., 4999} adalah himpunan bilangan prima kurang dari 5000.

Carilah banyaknya himpunan bagian dari S, yang hasil penjumlahan dari elemen-elemennya adalah bilangan prima.
Masukkan 16 angka terakhir dari jawaban Anda.

Answer: a470ee3ca52f2b68d7034e48b39b8b26

Soal 250

Carilah banyaknya himpunan bagian tidak kosong dari {1¹, 2², 3³,..., 250250²⁵⁰²⁵⁰}, yang hasil penjumlahan elemen-elemennya habis dibagi 250. Masukkan 16 angka terakhir dari jawaban Anda.

Answer: 4a5614f3700956273fe0d271f921d5f4

Soal 251

Sebuah triplet bilangan bulat positif (a,b,c) akan disebut triplet Cardano apabila memenuhi kondisi:

Sebagai contoh, (2,1,5) adalah triplet Cardano.

Terdapat 149 triplet Cardano dimana a+b+c ≤ 1000.

Carilah berapa banyak triplet Cardano yang ada, dimana a+b+c ≤ 110,000,000.

Answer: 9690315a09a4d9f58dcc19ad96e6e889

Soal 252

Diberikan himpunan titik-titk pada suatu bidang, kita akan menyatakan lubang konveks sebagai poligon konveks yang dibentuk dari titik apapun, dan tidak berisi titik lain di sebelah dalamnya (titik masih boleh berada di keliling poligon).

Sebagai contoh, gambar di bawah ini menunjukkan himpunan dari dua puluh buah titik, dan beberapa lubang konveks seperti yang dijelaskan di atas. Lubang konveks ditunjukkan oleh segi tujuh berwarna merah memiliki luas 1049694.5 satuan luas, dimana luas ini adalah luas terbesar yang memungkinkan dibentuk oleh lubang konveks pada titik-titik yang diberikan.

Pada contoh di atas, 20 titik pertama (T_2k−1, T_2k), untuk k = 1,2,…,20, dicari dengan alat pembuat bilangan acak:

sehingga didapat (527, 144), (−488, 732), (−454, −947), …

Berapakah luas lubang konveks terbesar, pada kumpulan 500 titik pertama yang dibentuk dengan alat pembuat bilangan acak di atas?
Jawab hingga ketelitian satu angka di belakang koma.

Answer: 53b1ced82e1b588d756750c4d2f77e0d

Soal 253

Seorang anak kecil memiliki “ulat nomor” yang berisi empat puluh buah jigsaw puzzle, setiap potong puzzle memiliki sebuah nomor padanya, sehingga, saat semua puzzle digabung dalam satu garis, akan muncul nomor 1 sampai 40 secara berurutan.

Setiap malam, ayah dari anak tersebut harus mengambil potongan puzzle ulat yang telah tersebar di ruang bermain. Ia mengambil potongan puzzle secara acak, lalu meletakannya di urutan yang benar.
Maka lama kelamaan ulat akan terbentuk, akan terbentuk segmen ulat berbeda yang lama kelamaan akan tersambung menjadi satu ulat utuh.
Banyaknya segmen ulat dimulai dari nol buah (tidak ada segmen tercipta sama sekali), hingga terdapat sebelas atau dua belas buah segmen ulat, lalu kembali menjadi nol lagi sebelum semua segmen bergabung menjadi satu (semua potongan telah diletakkan dengan benar).

For example:

M adalah banyak maksimal dari segmen ulat yang bisa terbentuk pada saat puzzle ulat dirapikan secara acak.
Untuk ulat dengan sepuluh potong puzzle, besarnya kemungkinan untuk setipa M adalah

sehingga nilai M yang paling sering muncul adalah 3 dan rata-ratanya adalah ³⁸⁵⁶⁴³⁄₁₁₃₄₀₀ = 3.400732, dibulatkan hingga enam angka di belakang koma.

nilai M yang paling sering muncul untuk puzzle ulat dengan empat puluh potong puzzle adalah 11; namun berapakah nilai rata-rata dari M?

Berikan jawaban Anda dibulatkan hingga enam angka di belakang koma.

Answer: 228de0a37019fd7c7051029f3d126422

Soal 254

Dinyatakan f(n) adalah hasil penjumlahan dari faktorial angka-angka n. Sebagai contoh, f(342) = 3! + 4! + 2! = 32.

Dinyatakan sf(n) adalah hasil penjumlahan dari angka-angka pada f(n). Sehingga sf(342) = 3 + 2 = 5.

Dinyatakan g(i) adalah bilangan bulat positif n terkecil, yang memenuhi sf(n) = i. Sehingga walaupun sf(342) adalah 5, sf(25) juga 5, jadi dapat disimpulkan bahwa g(5) adalah 25.

Dinyatakan sg(i) sebagai hasil penjumlahan angka-angka pada g(i). Sehingga sg(5) = 2 + 5 = 7.

Lebih lanjut, dapat dibuktikan bahwa g(20) adalah 267 dan ∑ sg(i) untuk 1 ≤ i ≤ 20 adalah 156.

Berapakah ∑ sg(i) untuk 1 ≤ i ≤ 150?

Answer: 936014adf2de65d41979ad900325e485

Soal 255

Kita akan menyatakan suatu akar-kuadrat-dibulatkan sebuah bilangan bulat positif n, sebagai akar kuadrat dari n yang dibulatkan ke bilangan bulat terdekat.

Prosedur berikut ini (didasari dari metode Heron yang diadaptasikan dengan aritmatika bilangan bulat) akan menemukan akar-kuadrat-dibulatkan dari n:

d adalah banyaknya angka (digit) dari bilangan n.
Jika d bernilai ganjil, tetapkan x₀ = 2×10^(d-1)⁄2.
Jika d bernilai genap, tetapkan x₀ = 7×10^(d-2)⁄2.
Ulangi:

sampai x_k+1 = x_k.

Sebagai contoh, kita akan mencari akar-kuadrat-dibulatkan dari n = 4321.
n mempunyai 4 angka (digit), sehingga x₀ = 7×10^(4-2)⁄2 = 70.

Karena x₂ = x₁, maka kita berhenti sampai di sini.
Sehingga, setelah dua kali pengulangan (iterasi), kita telah menemukan akar-kuadrat-dibulatkan dari 4321 adalah 66 (akar kuadrat aslinya adalah 65.7343137…).

Banyaknya pengulangan (iterasi) yang diperlukan saat menggunakan metode ini cukup rendah.
Sebagai contoh, kita dapat mencari akar-kuadrat-dibulatkan dari bilangan bulat 5 angka (digit) (10,000 ≤ n ≤ 99,999) dengan rata-rata 3.2102888889 kali pengulangan (rata-rata tersebut telah dibulatkan 10 angka di belakang koma).

Dengan menggunakan prosedur seperti di atas, berapakah rata-rata banyaknya pengulangan (iterasi) yang diperlukan untuk mencari akar-kuadrat-dibulatkan dari bilangan 14 angka (digit) (10¹³ ≤ n < 10¹⁴)?
Berikan jawaban Anda dibulatkan 10 angka di belakang koma.

Catatan: Lambang ⌊x⌋ dan ⌈x⌉ memiliki arti masing-masing dibulatkan ke bawah dan dibulatkan ke atas.

Answer: 12be028b156b49faa1137febda940ab5

Soal 256

Tatami adalah tikar berbentuk persegi panjang, yang digunakan untuk menutup seluruh lantai suatu ruangan, tanpa ada yang saling tumpang tindih satu sama lain.

Diasumsikan bahwa hanya terdapat satu macam tatami dengan ukuran 1×2, maka akan terdapat beberapa batasan dari bentuk dan ukuran ruang yang lantainya bisa ditutupi.

Untuk masalah ini, kita menganggap hanya ada ruangan berbentuk persegi panjang dengan ukuran berupa bilangan bulat a, b dan luas s genap, s = a·b.
Kita menggunakan istilah 'luas' untuk menyatakan luas permukaan lantai ruangan, dan — tanpa menghilangkan segala kemungkinan yang ada — kita akan menambahkan kondisi a ≤ b.

Terdapat satu aturan untuk menyusun tatami: tidak boleh ada titik yang menjadi tempat bertemu ujung empat tikar berbeda.
Sebagai contoh, perhatikan dua susunan berikut ini untuk ruangan berukuran 4×4:

Susunan di sebelah kiri dapat diterima, sedangkan yang di sebelah kanan tidak: tanda "X" bewarna merah di tengah-tengah, menandakan tempat dimana empat tatami bertemu.

Karena aturan ini, beberapa ukuran dengan luas genap tertentu tidak bisa ditutupi oleh tatami: kita akan sebut mereka ruangan tanpa tatami.
Lebih lanjut, kita nyatakan T(s) sebagai banyaknya ruangan tanpa tatami dengan luas s.

Ruangan tanpa tatami terkecil memiliki luas s = 70 dan berdimensi 7×10.
Tetapi terdapat ruangan lain dengan luas s = 70 yang bisa ditutup oleh tatami; mereka adalah: 1×70, 2×35 dan 5×14.
Sehingga, T(70) = 1.

Dengan cara yang sama, kita dapat buktikan bahwa T(1320) = 5, karena terdapat persis 5 buah ruangan tanpa tatami yang memiliki luas s = 1320:
20×66, 22×60, 24×55, 30×44 and 33×40.
Kenyataanya, s = 1320 adalah ukuran luas s terkecil dimana T(s) = 5.

Carilah luas ruangan s terkecil, dimana T(s) = 200.

</span>

Answer: ef8eb0c177d00a5b80e1723786a22698

Soal 257

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan sisi-sisi bilangan bulat a ≤ b ≤ c. (AB = c, BC = a and AC = b).
Garis bagi dari segitiga tersebut berpotongan pada titik E, F, dan G (perhatikan gambar berikut).

Segmen garis EF, EG dan FG membagi segitiga ABC menjadi empat segitiga kecil: AEG, BFE, CGF dan EFG.
Dapat dibuktikan bahwa pada keempat segitiga tersebut, perbandingan luas(ABC)/luas(segitiga keicl) adalah merupakan bilangan rasional.
Dan, terdapat beberapa segitiga yang memimiliki sebagian atau semua nilai perbandingan berupa bilangan bulat.

Berapakah banyaknya segitiga ABC dengan panjang keliling≤100,000,000 yang memiliki nilai perbandingan luas(ABC)/luas(AEG) berupa bilangan bulat?

</span>

Answer: 3ba58bde91c83c98904050d90e466ce2

Soal 258

Sebuah barisan dinyatakan dengan:

• g_k = 1, for 0 ≤ k ≤ 1999
• g_k = g_k-2000 + g_k-1999, untuk k ≥ 2000.

Carilah g_k mod 20092010 untuk k = 10¹⁸.

Answer: 18eca0138f3acbde20dcc24ed06627ea

Soal 259

Sebuah bilangan bulat positif dikatakan dapat dicapai apabila bilangan tersebut dapat dibentuk dari operasi aritmatika yang memenuhi aturan berikut:

• Menggunakan angka (digit) 1 sampai 9, sesuai urutannya, dan masing-masing angka (digit) digunakan sekali.
• Setiap angka (digit) yang bersebelahan dapat digabung (sebagai contoh, menggunakan angka (digit) 2, 3 dan 4 kita bisa mendapatkan bilangan 234).
• Hanya terdapat empat macam operasi aritmatika yang boleh digunakan (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian).
• Setiap operasi aritmatika dapat bebas digunakan berkali-kali, atau bahkan tidak digunakan sama sekali.
• Tanda negatif di depan bilangan tidak diperbolehkan.
• Diperbolehkan untuk menggunakan tanda kurung sebanyak-banyaknya untuk menentukan urutan operasi.

Sebagai contoh, 42 adalah bilangan yang dapat dicapai, karena (1/23) * ((4*5)-6) * (78-9) = 42.

Berapakah hasil penjumlahan semua bilangan bulat positif yang dapat dicapai?

Answer: 771828a57c269d873335c9091af78f76

Soal 260

Sebuah permainan dimainkan dengan tiga tumpuk batu dan dua pemain.
Saat gilirannya, seorang pemain mengambil satu atau lebih batu dari tumpukan. Tetapi, apabila ia mengambil batu di lebih dari satu tumpukan, ia harus mengambil jumlah batu dengan banyak yang sama pada setiap tumpukan.

Dengan kata lain, pemain memilih N>0 dan mengambil:

• N buah batu dari salah satu tumpukan; atau
• masing-masing N buah batu dari dua buah tumpukan (total 2N); atau
• masing-masing N buah batu dari tiga buah tumpukan (total 3N).

Sebuah susunan kemenangan adalah cara menyusun batu untuk membuat pemain pertama menjadi menang.
Sebagai contoh, (0,0,13), (0,11,11) dan (5,5,5) adalah susunan kemenangan, karena pemain pertama dapat dengan segera mengambil semua batu yang ada.

Sebuah susunan kekalahan adalah cara menyusun batu untuk membuat pemain kedua menjadi pemenang, tidak peduli apapun yang dilakukan oleh pemain pertama.
Sebagai contoh, (0,1,2) dan (1,3,3) adalah susunan kekalahan: setiap langkah yang sah akan meninggalkan susunan kemenangan untuk pemain kedua.

Misalkan susunan kekalahan dinyatakan dengan (x_i,y_i,z_i) dimana x_i ≤ y_i ≤ z_i ≤ 100.
Dapat dibuktikan bahwa Σ(x_i+y_i+z_i) = 173895.

Carilah Σ(x_i+y_i+z_i) dimana (x_i,y_i,z_i) adalah susunan kekalahan yang memenuhi
with x_i ≤ y_i ≤ z_i ≤ 1000.

Answer: cab69719e6968409ba167707a09875cb

Soal 261

Kita akan menyebut bilangan bulat positif k sebagai poros-kuadrat, jika terdapat sepasang bilangan bulat m > 0 dan n ≥ k, sehingga hasil penjumlahan dari (m+1) buah bilangan kuadrat berurutan sampai k sama dengan hasil penjumlahan dari m buah bilangan kuadrat berurutan dari (n+1):

Beberapa contoh poros-kuadrat kecil adalah

• 4: 3² + 4² = 5²
• 21: 20² + 21² = 29²
• 24: 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²
• 110: 108² + 109² + 110² = 133² + 134²

Carilah hasil penjumlahan dari semua poros-kuadrat berbeda ≤ 10¹⁰.

Answer: d45ddf64010ed143228a6a6b84837de9

Soal 262

Fungsi berikut ini akan menggambarkan topografi dari daerah kontinu suatu pegunungan, nilai ketinggian h di titik (x,y) manapun adalah:

Seekor nyamuk akan terbang dari A(200,200) ke B(1400,1400), tanpa keluar dari daerah yang dibatasi 0 ≤ x, y ≤ 1600.

Karena adanya halangan pada daerah pegunungan, nyamuk tersebut akan terbang ke atas pada titik A dengan ketinggian f. Lalu, dengan ketinggian f yang konstan, nyamuk tersebut akan terbang lurus melewati semua rintangan sampai tiba di titik B, persis di atas titik B.

Pertama-tama, tentukan f_min, yaitu ketinggian minimum yang memungkinkan nyamuk melakukan perjalanan dari A ke B, pada batas yang telah ditentukan.
Lalu, carilah jarak terpendek antara A dan B yang bisa didapat dengan cara terbang pada ketinggian konstan f_min.

Jarak terpendek tersebut adalah jawaban Anda, bulatkan hingga tiga angka di belakang koma.

<font "size=2">Catatan: Untuk memudahkan, fungsi ketinggian di atas diketik ulang di bawah, namun dalam bentuk yang cocok untuk sebagian besar bahasa pemrograman:
h=( 5000-0.005*(x*x+y*y+x*y)+12.5*(x+y) ) * exp( -abs(0.000001*(x*x+y*y)-0.0015*(x+y)+0.7) )</font>

Answer: a5921e175a44d31e7f82f7f9a61a36af

Soal 263

Perhatikan bilangan 6. Faktor dari 6 adalah: 1,2,3 dan 6.
Setiap bilangan dimulai dari 1 sampai 6 (termasuk 6 itu sendiri) dapat ditulis sebagai hasil penjumlahan faktor berbeda dari:
1=1, 2=2, 3=1+2, 4=1+3, 5=2+3, 6=6.
Sebuah bilangan n disebut sebagai bilangan praktis apabila setiap bilangan dimulai dari 1 sampai n (termasuk n) dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan faktor-faktor berbeda dari n.

Sepasang bilangan prima berurutan dengan beda enam disebut pasangan seksi (karena kata "sex" adalah bahasa Latin untuk "enam"). Pasangan seksi pertama adalah (23, 29).

Kita mungkin dapat menemukan pasangan seksi rangkap tiga, yang berarti terdapat tiga pasangan seksi berurutan, sehingga anggota ke dua dari setiap pasangan adalah anggota pertama dari pasangan selanjutnya.

Kita akan menyebut bilangan n yang :

• (n-9, n-3), (n-3,n+3), (n+3, n+9) membentuk pasangan seksi rangkap tiga, dan
• bilangan n-8, n-4, n, n+4 dan n+8 adalah bilangan praktis,

Carilah hasil penjumlahan empat buah bilangan surga insinyur pertama.

Answer: 8fe3eb7196c69a080740e076cff9b4a1

Soal 264

Diasumsikan semua segitiga memiliki sifat:

• Semua titik sudutnya berada pada koordinat dengan bilangan bulat.
• Pusat dari lingkaran luar segitiganya berada di titik origin (0,0).
• Titik potong ketiga buah garis tinggi pada segitiga berada pada titik H(5, 0).

Terdapat sembilan buah segitiga seperti ini yang memiliki panjang keliling ≤ 50.
Dituliskan dan digambarkan secara berurutan bedasarkan panjang kelilingnya, mereka adalah:

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3) A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3) A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4) A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4) A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5) A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7) A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7) A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7) A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7)

Hasil penjumlahan keliling-keliling segitiga tersebut, dibulatkan hingga empat angka di belakang koma adalah 291.0089.

Carilah segitiga seperti di atas dengan panjang keliling ≤ 10⁵.
Lalu sebagai jawaban Anda, masukkan hasil penjumlahan keliling-keliling segitiga tersebut dibulatkan hingga empat angka di belakang koma.

Answer: 287514a045a38be0a75a1786694c77ee

Soal 265

2^N angka biner dapat diletakkan pada sebuah lingkaran, sehingga jika N-digit sub-barisan dibaca searah jarum jam semuanya berbeda.

Untuk N=3, memungkinkan dibuat dua susunan melingkar yang memenuhi aturan di atas, hasil rotasi dapat diabaikan:

Untuk lingkaran di sebelah kiri, hasil 3-digit sub-barisan yang ada, dibaca searah jarum jam, adalah:
000, 001, 010, 101, 011, 111, 110 and 100.

Setiap susunan melingkar dapat di terjemahkan menjadi bilangan dengan cara menyatukan semua digit biner, dimulai dari sub-barisan yang semua digitnya nol sebagai bit paling kiri, dan berlanjut searah jarum jam. Dua susunan untuk N=3 dapat diterjemahkan menjadi 23 dan 29:

S(N) adalah hasil penjumlahan dari bilangan-bilangan hasil terjemahan berbeda, kita dapat melihat bahwa S(3) = 23 + 29 = 52.

Carilah S(5).

Answer: c25cebbc8dce4bdcf96cb395a11afcc3

Soal 266

Faktor dari 12 adalah: 1,2,3,4,6 dan 12.
Faktor dari 12 yang tidak melebihi akar kuadrat dari 12 adalah 3.
Kita akan menyebut faktor terbesar dari bilangan bulat n, yang tidak melebihi akar kuadrat n, sebagai akar kuadrat palsu (pseudo square root/PSR) dari n.
Dapat dibuktikan bahwa PSR(3102)=47.

p adalah hasil kali bilangan prima kurang dari 190.
Carilah PSR(p) mod 10¹⁶.

Answer: 32da1d501e539ab509f104e2db68d57a

Soal 267

Anda diberikan kesempatan investasi unik.

Dengan modal awal £1, Anda dapat memilih sebanyak f bagian, dari modal Anda untuk dipertaruhkan pada permainan lempar koin berulang-ulang sampai 1000 kali lemparan.

Anda mendapat dua kali lipat dari taruhan Anda jika muncul sisi kepala pada koin, dan Anda harus menyerahkan taruhan Anda jika muncul sisi ekor pada koin.

Sebagai contoh, jika f = 1/4, untuk lemparan koin pertama Anda mempertaruhkan £0.25, dan jika muncul sisi kepala, anda mendapatkan £0.5 sehingga Anda memiliki total £1.5. Lalu Anda kembali mempertaruhkan £0.375 dan jika hasil lemparan kedua Anda adalah ekor, maka sisa uang Anda menjadi £1.125.

Dengan memilih nilai f terbaik, yang dapat memaksimalkan peluang Anda untuk memenangkan setidaknya £1,000,000,000 setelah 1,000 kali lemparan koin, berapakah peluang Anda menjadi seorang miliyarder?

Segala perhitungan diasumsikan eksak (tidak ada pembulatan), namun berikan jawaban Anda dibulatkan 12 angka di belakang koma dengan format 0.abcdefghijkl.

Answer: b8dd3306c2c64eacb0ac36b414892edb

Soal 268

Dapat dibuktikan bahwa terdapat 23 buah bilangan bulat positif kurang dari 1000 yang habis dibagi oleh setidaknya empat buah bilangan prima berbeda kurang dari yang 100.

Carilah berapa banyak bilangan bulat positif kurang dari 10¹⁶ yang habis dibagi oleh setidaknya empat buah bilangan prima kurang dari 100.

Answer: 6f84b20c10311cb24a824416a3c3e0a4

Soal 269

Akar dari sebuah polinom P(x) adalah nilai x yang akan membuat polinom memenuhi persamaan P(x) = 0.
Kemudian dinyatakan P_n adalah sebuah polinom, yang koefisien-koefisiennya adalah digit-digit dari n.
Sebagai contoh, P₅₇₀₃(x) = 5x³ + 7x² + 3.

Dapat kita lihat bahwa:

• P_n(0) adalah digit terakhir dari n,
• P_n(1) adalah hasil penjumlahan semua digit dari n,
• P_n(10) adalah n itu sendiri.

Dinyatakan Z(k) sebagai banyaknya bilangan bulat positif n, yang tidak melebihi k, dimana polinom P_n memiliki setidaknya satu akar bilangan bulat.

Dapat dibuktikan bawha Z(100 000) adalah 14696.

Berapakah Z(10¹⁶)?

Answer: f7ba868cb52a9b9c7e58b1b92e230be8

Soal 270

Sebuah kertas berbentuk persegi dengan ukuran N×N, N adalah bilangan bulat, diletakkan dengan salah satu titik sudutnya terletak pada origin (0,0), dan dua titik sudut lainnya diletakkan sepanjang sumbu x dan y. Kemudian, kita potong kertas tersebut dengan mengikuti aturan berikut:

• Kita hanya akan memotong membentuk garis lurus antara dua titik yang ada pada dua sisi berbeda pada persegi, dan kedua titik tersebut mempunyai koordinat bilangan bulat.
• Dua buah hasil potongan tidak boleh saling bertemu, namun ujung dari beberapa potongan boleh bertemu di titik yang sama.
• Lakukan terus hingga tidak terdapat lagi potongan yang bisa dibuat.

Dengan menganggap hasil refleksi atau rotasi sebagai hasil yang berbeda, C(N) adalah banyaknya cara untuk memotong persegi berukuran N×N. Sebagai contoh, C(1) = 2 dan C(2) = 30 (ditunjukkan pada gambar berikut).

Berapakah C(30) mod 10⁸ ?

Answer: 2a592dfd1e9e3e9e38578affa7c72605

Soal 271

Untuk bilangan positif n, dinyatakan S(n) sebagai hasil penjumlahan bilangan bulat x, dimana 1<x<n dan
x³≡1 mod n.

Saat n=91, terdapat 8 kemungkinan nilai untuk x, yaitu : 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Sehingga, S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

Carilah S(13082761331670030).

Answer: c4157aab542bd0dfa465c890e1286cc5

Soal 272

Untuk bilangan positif n, dinyatakan C(n) sebagai banyaknya bilangan bulat x, dimana 1<x<n dan
x³≡1 mod n.

Saat n=91, terdapat 8 kemungkinan nilai untuk x, yaitu : 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Sehingga, C(91)=8.

Carilah hasil penjumlahan bilangan positif n≤10¹¹ dimana C(n)=242.

Answer: d84d2020055b3e8867dc359e739e0312

Soal 273

Terdapat sebuah persamaan dengan bentuk: a² + b² = N, 0 ≤ a ≤ b, a, b dan N adalah bilangan bulat.

Untuk N=65 terdapat dua solusi:

a=1, b=8 dan a=4, b=7.

Kita akan menyebut S(N) sebagai hasil penjumlahan semua nilai a dari semua solusi pada a² + b² = N, 0 ≤ a ≤ b, a, b dan N adalah bilangan bulat.

Sehingga S(65) = 1 + 4 = 5.

Carilah ∑S(N), untuk semua bilangan bukan kuadrat N yang hanya habis dibagi oleh bilangan prima dengan bentuk 4k+1, dengan 4k+1 < 150.

Answer: 2b03731e58e9d60e559ee5fdce4f0d14

Soal 274

Untuk setiap bilangan bulat p > 1 yang koprima dengan 10, selalu terdapat bilangan kelipatan faktor positif m < p yang menjaga suatu bilangan tetap habis dibagi oleh p untuk fungsi berikut ini untuk segala bilangan bulat positif, n:

f(n) = (semua kecuali digit terakhir dari n) + (digit terakhir dari n) * m

Sehingga, jika m adalah kelipatan faktor untuk p, maka f(n) habis dibagi oleh p jika dan hanya jika n habis dibagi oleh p.

(Saat n jauh lebih besar dibanding p, f(n) akan kurang dari n dan proses berulang dari f akan menghasilkan bilangan yang habis dibagi p.)

Sebagai contoh, kelipatan faktor untuk 113 adalah 34.

f(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797 : 76275 dan 7797 keduanya habis dibagi 113
f(12345) = 1234 + 5 * 34 = 1404 : 12345 dan 1404 keduanya tidak habis dibagi 113

Hasil penjumlahan kelipatan faktor untuk bilangan prima yang koprima dengan 10 dan kurang dari 1000 adalah 39517. Berapakah hasil penjumlahan dari kelipatan faktor untuk bilangan prima yang koprima dengan 10 dan kurang dari 10⁷?

Answer: ffd68ca67b9c3ea2653d375051e70288

Soal 275

Kita akan menyatakan sebuah patung seimbang dengan orde n sebagai berikut:

• Sebuah polyomino yang dibuat dari n+1 persegi yang dikenal sebagai blok (n persegi)
  dan sebuah alas tiang (persegi sisanya);
• Alas tiang terletak pada posisi (x = 0, y = 0);
• Blok mempunyai koordinat y yang lebih besar dari nol (sehingga alas tiang harus menjadi satu-satunya persegi di paling bawah);
• Pada sumbu x, pusat massa dari seluruh blok yang digabungkan harus sama dengan nol.

Saat menghitung patung, segala macam susunan yang merupakan refleksi terhadap sumbu y tidak dianggap berbeda. Sebagai contoh, terdapat 18 patung seimbang dengan orde 6 yang ditunjukkan pada gambar di bawah; perlu diingat bahwa setiap pasang patung hasil pencermina (terhadap sumbu y) dihitung sebagai satu patung:

Terdapat 964 patung seimbang dengan orde 10 dan 360505 dengan orde 15.
Berapa banyak patung seimbang yang memiliki orde 18?

Answer: a2a192f9790dcbfe4b450a82c4461d4a

Soal 276

Terdapat segitiga dengan panjang sisi a, b dan c berupa bilangan bulat dengan a ≤ b ≤ c.
Sebuah segitiga dengan sisi bilangan bulat (a,b,c) disebut primitif jika FPB(a,b,c)=1.
Berapa banyak segitiga primitif dengan panjang sisi bilangan bulat yang ada dengan keliling tidak melebihi 10 000 000?

Answer: 29ae64e74ebfdf459dac56786e95c5d5

Soal 277

Sebuah barisan Collatz yang telah dimodifikasi berisi bilangan bulat yang dimulai dari a₁ dan didapatkan dengan cara berikut:

a_n+1 = a_n/3 jika a_n habis dibagi 3. Kita akan menyebut ini sebagai langkah turun besar (large downward step), "D".

a_n+1 = (4a_n + 2)/3 jika a_n dibagi 3 menghasilkan sisa 1. Kita akan menyebut ini sebagai langkah naik (upward step), "U".

a_n+1 = (2a_n - 1)/3 jika a_n dibagi 3 menghasilkan sisa 2. Kita akan menyebut ini sebagai langkah turun kecil (small downward step), "d".

Barisan berhenti saat terdapat a_n = 1.

Diberikan bilangan bulat sembarang, kita dapat mendaftarkan daftar langkah-langkahnya.
Sebagai contoh jika a₁=231, maka terbentuk barisan {a_n}={231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1} yang sesuai dengan langkah "DdDddUUdDD".

Tentu saja, terdapat barisan lain yang dimulai dengan langkah-langkah yang sama "DdDddUUdDD....".
Sebagai contoh, jika a₁=1004064, maka langkah-langkahnya DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD.
Kenyataannya, 1004064 adalah bilangan a₁ > 10⁶ terkecil yang dimulai dengan DdDddUUdDD.

Berapakah nilai a₁ > 10¹⁵ terkecil yang dimulai dengan barisan "UDDDUdddDDUDDddDdDddDDUDDdUUDd"?

Answer: 9508afff135320c18d82c93a8b70cd11

Soal 278

Diketahui terdapat bilangan bulat 1 < a₁ < a₂ <... < a_n, maka terdapat kombinasi linear
q₁a₁ + q₂a₂ + ... + q_na_n = b, dengan menggunakan q_k ≥ 0 bilangan bulat.

Perlu diingat bahwa untuk sekumpulan a_k, tidak semua nilai b bisa digunakan.
Sebagai contoh, jika a₁ = 5 dan a₂ = 7, tidak ada q₁ ≥ 0 dan q₂ ≥ 0 yang memiliki nilai b
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 16, 18 atau 23.
Kenyataannya, 23 adalah bilangan bukan b terbesar untuk a₁ = 5 dan a₂ = 7.
Kita kemudian akan menyebut f(5, 7) = 23.
Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa f(6, 10, 15)=29 dan f(14, 22, 77) = 195.

Carilah ∑ f(p*q,p*r,q*r), dimana p, q dan r adalah bilangan prima dan p < q < r < 5000.

Answer: 7e680606b5e9890a19894dbdbbbd102a

Soal 279

Berapa banyak segitiga yang memiliki panjang sisi bilangan bulat, dan setidaknya satu buah sudut bilangan bulat (diukur dalam derajat), serta panjang kelilingnya tidak melebihi 10⁸?

Answer: 1f51455a8180fdeeb21285dfb6cba45f

Soal 280

Seekor semut pekerja berjalan secara acak pada kisi berukuran 5x5. Perjalanan dimulai dari kotak paling tengah. Pada setiap langkahnya, semut bergerak ke kotak di sebelahnya secara acak, tetapi tidak keluar dari kisi; sehingga terdapat 2, 3 atau 4 gerakan yang mungkin pada setiap langkah, tergantung dimana semut tersebut berada.

Saat memulai perjalanan, sebuah biji diletakkan pada setiap kotak di barisan paling bawah. Saat semut tidak membawa biji semut akan bergerak ke kotak bagian bawah yang terdapat biji, semut tersebut akan mengambil biji dari kotak. Semut tersebut akan menjatuhkan biji ke kotak kosong pada baris di atasnya yang pertama kali dicapai.

Berapakah banyaknya langkah sampai semua biji dijatuhkan hingga baris paling atas?
Berikan jawaban Anda dibulatkan 6 angka di belakang koma.

Answer: 27f07f04d1908e5ce4fa6eac09881cc2

Soal 281

Anda diberikan sebuah pizza (berbentuk lingkaran sempurna) yang telah dipotong menjadi m·n buah potongan dan Anda ingin memiliki persis satu macam topping pada setiap potongnya.

f(m,n) menyatakan banyaknya cara meletakkan topping pada pizza dengan m macam topping berbeda (m ≥ 2), dengan menggunakan setiap topping persis pada n potong pizza (n ≥ 1).
Hasil Refleksi dianggap berbeda, tetapi rotasi tidak.

Sebagai contoh, f(2,1) = 1, f(2,2) = f(3,1) = 2 dan f(3,2) = 16.
Berbagai pilihan peletakan topping f(3,2) ditunjukkan pada gambar berikut:

Carilah hasil penjumlahan dari semua f(m,n) yang memenuhi f(m,n) ≤ 10¹⁵.

Answer: ceee6ced9d64aad844310c8ce2aae2b7

Soal 282

Untuk bilangan bulat tidak negatif m, n, fungsi Ackermann A(m, n) dinyatakan sebagai berikut:

Sebagai contoh A(1, 0) = 2, A(2, 2) = 7 dan A(3, 4) = 125.